Exemple 2 : On dispose d'un jeu de 32 cartes composé des cartes 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as pour chacune des quatre couleurs trèfle, carreau, coeur et pique.
On tire simultanément 5 cartes dans un jeu de 32. On appelle cet ensemble de 5 cartes une "main".
1. Combien y a-t-il de mains différentes possibles ?
On tire 5 cartes parmi 32 disponibles. L'ordre n'a pas d'importance (tirage simultané). On utilise les combinaisons.
| Le nombre de mains est ( | 32 5 |
) = | 32! 5!(32-5)! |
= | 32×31×30×29×28×27! 5×4×3×2×27! |
= 8×31×29×28 = 201 376 |
2. Combien y a-t-il de mains contenant :
a. un carré
Il y a 8 valeurs disponibles pour former un carré. On en choisit une.
Il reste alors une carte à choisir parmi les 32 - 4 = 28 disponibles.
| Le nombre de mains contenant un carré est ( | 8 1 |
)×( | 28 1 |
) = 8×28 = 224 |
Ici, il faut choisir d'abord deux valeurs parmi les 8 disponibles. On choisit alors 2 cartes parmi les 4 couleurs pour chaque paires.
La dernière carte doit être prise parmi les 32 - 2×4 = 24 restantes.
Le nombre de mains contenant deux paires distinctes est :
| ( | 8 2 |
)×( | 4 2 |
)×( | 4 2 |
)×( | 24 1 |
) = | 8! 2!×6! |
× | 4! 2!×2! |
× | 4! 2!×2! |
×24 = | = | 8×7×6! 2×6! |
×6×6×24 = | = 4×7×6×6×24 = 24 192 | ||||||||
Dans le cas d'un full, il faut choisir une valeur parmi 8 pour les 3 cartes de même valeurs (choisies parmi 4 couleur) et une valeur parmi les 7 restantes pour la paire. (ou l'inverse...)
| Le nombre de mains contenant un full est ( | 8 1 |
)×( | 4 3 |
)×( | 7 1 |
)×( | 4 2 |
) = 8×4×7×6 = 1 344 |
Pour avoir un seule paire, il faut que les valeurs des 3 dernières cartes tirées soient différentes entre elles et différente de la valeurs de la paire.
Il faut donc choisir une valeur parmi les 8 pour la paire (2 couleurs parmi 4).
Puis, une troisième carte parmi 32 - 4 = 28, une quatrième carte parmi 28 - 4 = 24 et une cinquième carte parmi 24 - 4 = 20.
Toutefois, en faisant cela on compte plusieurs fois certaines combinaisons. Ce nombre de fois correspond au nombre de permutations de 3 éléments soit 3! = 6. (ex : V♠ en 3ème, D♥ en 4ème et R♣ en 5ème ; V♠ en 3ème, R♣ en 4ème et D♥ en 5ème...)
Le nombre de mains contenant seulement une paire est 8×6×28×24×20/6 = 107 520.
Remarque : La probabilité d'avoir une paire est 107 520/201 376 ≃ 0,53 soit 53%.
Exemple 3 : On considèreles les mots de huits lettres ABDOMENS, BADIANES et BANDANAS.
1. Déterminer le nombre d'anagrammes des mots de huits lettres suivants:
Pour ABDOMENS, toutes les lettres sont différentes, le nombre d'anagrammes de ce mot de huits lettres est 8! = 40 320.
Pour BADIANES, le A apparait 2 fois. Si les deux lettres A étaient différents par la couleur par exemple,
on pourrait considérer BADIANES et BADIANES comme différents. Ici ce n'est pas le cas.
Il faut donc diviser 8! par 2 qui est en fait le nombre de permutation d'un mot de 2 lettres.
| Le nombre d'anagrammes de BADIANES est donc | 8! 2 |
= | 40 320 2 |
= 20 160 |
Pour BANDANAS, le A apparait 3 fois et le N apparait 2 fois. Il faudra donc diviser le nombre total de permutation d'un mot de 8 lettres par le nombre de permutation d'un mot de 3 lettres soit 3! = 6 et par le nombre de permutation d'un mot de 2 lettres soit 2! = 2.
| Par conséquent, le nombre d'anagrammes de BANDANAS est donc | 8! 3!×2! |
= | 40 320 6×2 |
= 3 360 |
2. Déterminer le nombre d'anagrammes commençant par ANE.
Pour ABDOMENS, si les 3 premières lettres sont ANE, il ne reste plus qu'à arranger les 8-3 = 5 lettres restantes.
Le nombre d'anagrammes commençant par ANE est donc 5! = 120.
Pour BADIANES, c'est la même chose. En effet, une fois un des A utilisé dans ANE, il reste BADIS soit 5 lettres différentes.
Le nombre d'anagrammes commençant par ANE est également 5! = 120.
Pour BANDANAS, Il n'y a pas de E. Donc aucun mot ne peut commencer par ANE.
Le nombre d'anagrammes commençant par ANE est 0.
4. Pour le mot de votre choix, déterminer le nombre d'anagrammes contenant les letttres classées par ordre alphabétique.
L'ordre alphabétique impose un seul choix ABDEMNOS. Le nombre d'anagrammes avec les letttres classées par ordre alphabétique est 1.
5. Pour le mot BADIANES, déterminer le nombre d'anagrammes ne commençant pas par S.
On calcule d'abord le nombre d'anagrammes commençant par S. Sans le S, il en reste 7 et parmi elles, les deux A.
| Ce qui conduit à | 7! 2 |
= 2 520 possibilites |