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Nombre dérivé d'une fonction en un point

Taux d'accroissement

On peut définir le taux d'accroissment d'une fonction entre deux points a et b comme le rapport suivant :
τ =  f(b) - f(a)
b - a

Si on pose h = b - a alors b = a + h et l'expression du taux d'accroissement en fonction de h au voisinage du point a devient :
τ(h) =  f(a + h) - f(a)
h
Si lorsque h devient infiniment petit (h tend vers 0) le taux d'accroissement tend vers une valeur limite réelle l alors on dit que la fonction f est dérivable en a est que le nombre dérivé en ce point, noté f'(a) est l. On écrira
f'(a)= l =  lim
h→0		  τ(h)

Exemple 1 :
Montrer que la fonction définie par f(x) = x2 est dérivable en tout point a et donner le nombre dérivé en ce point.
τ(h) =  f(a + h) - f(a)
h		  =  (a + h)2 - a2
h		  =  a2 + 2ah + h2 - a2
h		  =  2ah + h2
h		  =  2a + h
lim
h→0		  τ(h) =  lim
h→0		  (2a + h) = 2a 
La fonction f est dérivable en tout point a et le nombre dérivé en ce point est f'(a) = 2a.

Exemple 2 :
Soit la fonction f définie sur R* par f(x) =  1
x2
On pose t(h) =   f(1 + h) - f(1)
h
Montrer que t(h) =    -2 - h 
(1 + h)2
En déduire que f est dérivable au point 1 et préciser son nombre dérivé.
 
t(h) = 		    1   
(1 + h)2		  -  1
12
        h        
t(h) =  1
h		 × 1 - (1 + h)2
(1 + h)2		  =  1
h		 × 1 - 1 -2h - h2
(1 + h)2		  =  1
h		 × -2h - h2
(1 + h)2		  =  1
h		 × h(-2 - h)
(1 + h)2		  =  -2 - h
(1 + h)2
Lorsque h tend vers 0 :
le numérateur (-2 - h) tend vers -2 et le dénominateur (1 + h)2 tend vers 1, on a donc
lim
h→0		  t(h) =  lim
h→0		  f(1 + h) - f(1)
h		  = -2 
La fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé en vaut -2. Soit f'(1) = -2.

Exemple 3 : La fonction racine carrée est-elle dérivable en 0 ?
Pour h > 0 on arrive à t(h) =  √h
h		  =   1 
√h		  et  lim
h→0		  1 
√h		  = +∞ 
Cette limite n'est pas un nombre réel donc la fonction √x n'est pas dérivable en 0.