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Équation du second degré, discriminant

Etude de la factorisation

A partir de la forme canonique, on met a en facteur
p(x) = a(x +  b
2a		 )2 -   b2 - 4ac
4a
p(x) = a[(x +  b
2a		 )2 -   b2 - 4ac
4a2		 ]  On pose Δ = b2 - 4ac
p(x) = a[(x +  b
2a		 )2 -    Δ 
4a2		 ] 

On cherche alors si selon le signe de Δ une factorisation est possible.
Les termes (x +  b
2a		 )2 et  4a2 sont positifs.
Si Δ est négatif, le terme -  Δ 
4a2		  est strictement positif.
L'expression entre crochets est donc toujours strictement positive.
La factorisation est alors imposible.

Si Δ est nul, alors p(x) est déjà sous une forme factorisée :
p(x) = a(x +  b
2a		 )2

Si Δ est positif, alors on peut écrire Δ = (√Δ)2, et par suite :
p(x) = a[(x +  b
2a		 )2 - ( √Δ
2a		 )2] 
Ainsi, l'expression entre crochets peut être assimilée à l'identité remarquable A2 - B2 que l'on peut factoriser en (A + B)(A - B).
p(x) = a(x +  b
2a		  +  √Δ
2a		 )(x +  b
2a		  -  √Δ
2a		 )   = a(x +  b + √Δ
2a		 )(x +  b - √Δ
2a		 )

Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0

On commence par calculer Δ = b2 - 4ac. Δ est appelé discriminant de l'équation.

Si Δ < 0, la factorisation n'est pas possible.
L'équation n'a pas de racine réelle.

Si Δ = 0, la factorisation est possible. p(x) = a (x - x0)2
L'équation admet une racine double :
  x0 = -  b
2a

Si Δ > 0, la factorisation est possible.
p(x) = a(x +  b + √Δ
2a		 )(x +  b - √Δ
2a		 ) = a(x -  -b - √Δ
2a		 )(x -  -b + √Δ
2a		 ) = a(x -x1)(x -x2)
L'équation admet deux racines distinctes :
  x1 =  -b - √Δ
2a		  et x2 =  -b + √Δ
2a		 

Remarques :
Δ = b2 - 4ac, donc si a et c sont de signes contraires alors Δ est positif.
Sans calcul on peut dire que l'équation admet des solutions.

Si c = 0, on peut mettre x en facteur et p(x) = x(ax +b).

Penser aux racines "évidentes" 1 et -1.
Si a + b + c = 0 alors 1 est une racine et p(x) = (x - 1)(ax - c). 
Si a - b + c = 0 alors -1 est une racine et p(x) = (x + 1)(ax + c).