Théorème de Gauss.
On considère trois entiers relatifs a, b et c non nuls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.
| Ceci se traduit par : |  |
a divise b×c | ⇒ | a divise c |
| a et b premiers entre eux |
Si a divise bc alors il existe k ∈ ℤ tel que bc = ka. De plus, d'après le théorème de Bézout si a et b sont premiers entre eux alors il existe un couple (u ; v) ∈ ℤ2 tel que au + bv = 1.
En multipliant la première égalité par v on obtient v×bc = v×ka soit (1 - au)c = vka car bv = 1 -au.
On a donc c - auc = vka d'où c = a(vk +uc).
Cette dernière égalité traduit bien le fait que a divise c.
Exemple 1 : Résoudre l'équation 3x = 5y où (x ; y) ∈ ℤ.
3×2 + 5×(-1) = 1 donc d'après le théorème de Bézout 3 et 5 sont premiers entre eux.
Or l'équation 3x = 5y signifie que 5 divise 3x (ou 3 divise 5y) par conséquent
d'après le théorème de Gauss 5 divise x. Il existe donc k ∈ ℤ tel que x = 5k.
En reportant dans l'équation initiale on obtient 3×5k = 5y soit y = 3k.
On a bien ∀ k ∈ ℤ, 3×5k = 5×3k. Par conséquent, les solutions de l'équation sont les couples (5k ; 3k) avec k ∈ ℤ.
Corollaire du théorème de Gauss.
On considère trois entiers relatifs a, b et c non nuls.
Si a et b divisent c avec a et b premiers entre eux alors a×b divise c.
| Ceci se traduit par : | |
a divise c et b divise c | ⇒ | a×b divise c |
| a et b premiers entre eux |
test 1 : On a 3 divise 135 et 5 divise 135. De plus 3 et 5 sont premiers entre eux donc d'après le corollaire du théorème de Gauss 15 = 3×5 divise 135.
En effet, 135 = 3×45, 135 = 5×27 et 135 = 15×9.
test 2 : On a 5 divise 135 et 15 divise 135. Mais on ne peut pas conclure que 75 = 5×15 divise 135 car 5 et 15 ne sont pas premiers entre eux.
En effet, 135 = 5×45, 135 = 15×9 et 135 = 1×75 + 60, 75 ne divise pas 135.
Exercice 1 : n est un entier naturel compris entre 20 et 800. De plus, la division euclidienne de n par 60 donne pour reste 15
et la division euclidienne de n par 156 donne aussi pour reste 15. Déterminer n.
D'après l'énoncé on peut écrire n = 60x + 15 et n = 156y + 15 avec x et y deux entiers naturels.
En faisant la différence membre à membre on obtient n - n = 156y + 15 - 60x -15 soit 0 = 156y - 60x ou encore 156y = 60x.
Par ailleurs, 156 = 6×26 = 2×2×3×13 et 60 = 6×10 = 2×2×3×5. On peut simplifier l'égalité précédente par 2×2×3 = 12.
Le problème revient donc à chercher x ou y tels que 13y = 5x. Cette égalité montre que 13y est divisible par 5 (ou 5x divisible par 13).
Or 5 et 13 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss y est divisible par 5 (ou x est divisible par 13).
On peut alors écrire n = 156×5k + 15 avec k ∈ ℕ (ou n = 60×13k' + 15 avec k' ∈ ℕ).
De plus on sait que n ∈ [20 ; 800]. Les expressions trouvées conduissent à n = 15 ou n = 795 , n = 1575.
L'entier naturel recherché est donc 795.
Utilisation du Théorème de Gauss : Racines rationnelles d'un polynôme.
Exercice 2 : On considère le polynôme défini par f(x) = 2x3 + x2 +5x - 3 et p ∈ ℤ et q ∈ ℕ* premiers entre eux.
1. Montrer que si p/q est une racine de f alors p divise 3 et q divise 2.
| On a f( | p q |
) = 0 | ⇔ | 2( | p q |
)3 + ( | p q |
)2 + 5( | p q |
) - 3 = 0 | ⇔ | 2 | p3 q3 |
+ | p2 q2 |
+ 5 | p q |
- 3 = 0 | ⇔ | 2 p3 + q×p2 + 5p×q2 - 3q3 = 0 en multipliant par q3 |
| 2 p3 = -q×p2 - 5p×q2 + 3q3 | ou |
2 p3 + q×p2 + 5p×q2 = 3q3 |
Soit encore | 2 p3 = q×(-p2 - 5p×q + 3q2) | ou |
p×(2 p2 + q×p + 5q2) = 3q3 |
D'une part, on a 2×p3 = k×q donc q divise 2p3. De plus q et p3 sont premiers entre eux. Par conséquent d'après le théorème de Gauss q divise 2.
D'autre part, on a 3×q3 = k'×p donc p divise 3q3. p et q3 étant premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss p divise 3.
2. Déduire que f admet une seul solution rationnelle.
On a sait que p ∈ ℤ et p divise 3 donc les valeurs possibles pour p sont 3, 1, -1 ou -3.
On sait que q ∈ ℕ et q divise 2 donc les valeurs possibles de q sont 2 ou 1.
Les valeurs prises par le rapport p/q sont alors 3, 1, -1, -3, 3/2, 1/2 , -1/2 ou -3/2.
Le théorème de Gauss n'étant qu'une implication, il faut vérifier que la réciproque est vraie !
On calcule f(3) = 75, f(1) = 5, f(-1) = -9 , f(-3) = -63 , f(3/2)= 27/2, f(1/2)= 0, f(-1/2)= -11/2 et f(-3/2)= -15.
Parmi les valeurs testées une seule convient. Le polynôme admet donc un seule racine rationnelle 1/2.
3. Le polynôme admet-il d'autres racines ?
Méthode 1 (factorisation) : Une racine est 1/2, donc on peut factoriser par (x - 1/2).
On peut alors écrire f(x) = (x - 1/2)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b - a/2)x2 + (c - b/2)x - c/2.
Par identification on obtient : a = 2, b = 1 + a/2 = 2, c = 5 + b/2 = 6 confirmé par c = -2×(-3) = 6.
On a donc f(x) = (x - 1/2)(2x2 + 2x + 6) = (2x - 1)(x2 + x + 3)
On fait ainsi apparaître un trinôme du second degré donc le discriminant est Δ = 12 - 4×1×3 = -11 < 0.
Celui-ci n'a pas de racines dans ℝ donc f n'admet pas d'autres racines.
Méthode 2 (dérivation) : On calcule la dérivée de la fonction f. On étudie son signe. On en déduit le sens de variation de f.
Pour tout x ∈ ℝ, f'(x) = 6x2 + 2x + 5. On obtient un trinôme du second degré dont le discriminant est Δ = 22 - 4×4×5 = -116 < 0.
Ce trinôme est du signe du coefficient principal a = 6 > 0. Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur ℝ.
Or cette fonction est continue (car dérivable) et de plus les limites en -∞ et + ∞ sont respectivement -∞ et + ∞.
On pourrait également calculer f pour deux valeurs. Par exemple f(0) = -3 et f(1) = 5. Sur l'intervalle [0 ; 1] f est continue et strictement croissant...
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une valeur unique. C'est celle que l'on a trouvée précédemment.
Ainsi, f n'admet pas d'autres racines.
Remarque : De manière générale si un polynôme à coefficients entiers relatifs, anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 avec a0 ≠ 0 admet des racines rationnelles p/q
avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ* premiers entre eux, alors elles sont telles que p divise a0 et q divise an.
Ainsi, si a0 = an = 1, les seules "racines évidentes" à tester sont 1 et -1.
Exercice 3 : Reprendre l'exercice 2 avec le polynôme défini par f(x) = 2x3 + x2 - 4x - 2.