1.1 Nombres complexes : point de vue algébrique
Ensemble ℂ des nombres complexes. Partie réelle et partie imaginaire.
Opérations. Conjugaison. Propriétés algébriques..
Inverse d'un nombre complexe non nul.
Formule du binôme dans ℂ..
Démonstrations :
Conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance entière. Formule du binôme.
1.2 Nombres complexes : point de vue géométrique
Image d'un nombre complexe. Image du conjugué. Affixe d'un point, d'un vecteur.
Module d'un nombre complexe. Interprétation géométrique.
Relation |z|2 = zz. Module d'un produit, d'un inverse.
Arguments d'un nombre complexe non nul. Interprétation géométrique. Forme trigonométrique.
Interprétation géométrique..
Ensemble U des nombres complexes de module 1. Stabilité de U par produit et passage à l'inverse..
Applications en géométrie.
1.3 Nombres complexes et trigonométrie
Formules d'addition et de duplication à partir du produit scalaire.
Exponentielle imaginaire, notation eiθ.
Relation fonctionnelle. Forme exponentielle d'un nombre complexe.
Formules d'Euler. Formule de Moivre.
Démonstration :Démonstration d'une des formules d'addition.
1.4 Équations polynomiales
Solutions complexes d'une équation du second degré à coefficients réels.
Factorisation de zn - an par z - a. Si P est un polynôme et P(a) = 0, factorisation de P par z - a..
Un polynôme de degré n admet au plus n racines.
Démonstrations :
Factorisation de zn - an par z - a. Factorisation de P(z) par z - a si P(a) = 0.
Le nombre de solutions d'une équation polynomiale est inférieur ou égal à son degré.
1.5 Utilisation des nombres complexes en géométrie
Interprétation géométrique du module et d'un argument.
Racines n-ièmes de l'unité. Description de l'ensemble Un des racines n-ièmes de l'unité.
Représentation géométrique. Cas particuliers : n = 2, 3, 4.
Démonstrations :
Détermination de l'ensemble Un.
Divisibilité dans ℤ. Division euclidienne d'un élément de ℤ par un élément de ℕ*.
Congruences dans ℤ. Compatibilité des congruences avec les opérations.
Exercices sur l'utilisation de la congruence. Raisonnement par disjonction de cas..
PGCD de deux entiers. Algorithme d'Euclide.
Couples d'entiers premiers entre eux.Identité de Bézout. Théorème de Bézout.
Détermination des coéfficients de Bézout. Coéfficients de Bézout (Méthodes classiques et autre)..
Théorème de Gauss; Corollaire. Exercices.Equations diophantiennes. Principe de résolution.
Exemple (3 méthodes). Autres exemples (équations diophantiennes, congruence). Tests (congruence,
Nombres premiers. Leur ensemble est infini.
Existence et unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
Petit théorème de Fermat.
Démonstrations :
Écriture du PGCD de a et b sous la forme ax + by, (x,y) ∈ ℤ2.
Théorème de Gauss.
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Graphe, sommets, arêtes. Exemple du graphe complet.
Sommets adjacents, degré, ordre d'un graphe, chaîne, longueur d'une chaîne, graphe connexe .
Notion de matrice. Matrice carrée, matrice colonne, matrice ligne.
Opérations : Addition, Multiplication par un réel, Multiplication de 2 matrices, puissances d'une matrice carrée (exemple).
Matrice indentité, matrice diagonale. Inverse d'une matrice carrée. Exercice type Bac
Exemples de représentations matricielles : matrice d'adjacence d'un graphe.
Transformations géométriques du plan.Suite de matrices colonnes (Un).
Graphe orienté pondéré associé à une chaîne de Markov à deux ou trois états..
Distributions invariantes d'une chaîne de Markov à deux ou trois états.
Démonstrations :
Expression du nombre de chemins de longueur n reliant deux sommets d'un graphe à l'aide de la puissance n-ième de la matrice d'adjacence.
Pour une chaîne de Markov, expression de la probabilité de passer de l'état i à l'état j en n transitions, de la matrice ligne représentant la distribution après n transitions.