L'expression de la formule du binôme de Newton dans ℂ et la même que dans ℝ, seulement les nombres a et b peuvent être complexes.
On considère deux nombres complexes a et b et un entier naturel n non nul :

(a + b)n =

n

n - k k

an-kbk

=

n 0

an +

n-1 1

an-1b + ... +

n n-1

abn-1 +

n n

bn

∑

k = 0

Les coefficients du type

n k

sont obtenus à l'aide du triangle de Pascal. (cf. coefficients binomiaux)

Remarque : Cette formule est principalement utilisée pour développer zⁿ avec z = a + ib ou a et b sont des réels.
Dans la formule il suffit de remplacer b par ib. On aura alors des termes avec de puissance de i : i² = -1 ; i³ = -i ; i⁴ = 1 ; i⁵ = i ...

Exemple 3 : Déterminer la forme algébrique du nombre complexe (a + b)⁴ et (3a - b)³ avec a = 1 - i et b = 1 + 2i.

a + b = 1 - i + 1 + 2i = 2 + i. (a + b)4 = (2 + i)4     = 1×24 + 4×23i + 6×22i2 + 4×2i3 + 1×i4     = 16 + 32i - 24 - 8i + 1     = -7 + 24i 3a - b = 3 - 3i - 1 - 2i = 2 - 5i (3a - b)3 = (2 - 5i)3     = 1×23 + 3×22(-5i) + 3×2(-5i)2 + 1×(-5i)3     = 8 - 12×5i - 6×25 + 125i     = -142 + 65i

n \ k  0 1 2 3 4 5 0 1           1 1 1         2 1 2 1       3 1 3 3 1     4 1 4 6 4 1   5 1 5 10 10 5 1

Exemple 4 : Pour tout complexe z ≠ 2, on pose : z' =

iz   z - 2

Montrer que : z' imaginaire pur ⇔ z réel

Dans tout l'exercice on considère un complexe z ≠ 2.
Méthode 1 : On pose z = x + iy avec x ∈ ℝ et y ∈ ℝ. Ainsi, on a :

z' =

i(x + iy)   x + iy - 2

=

ix - y   x - 2 + iy

=

(ix - y)(x - 2 - iy)   (x - 2)2 + y2

=

ix(x - 2) + xy - y(x - 2) + iy2)   (x - 2)2 + y2

=

2y + i[y2+x(x - 2)]   (x - 2)2 + y2

Par conséquent z' est un imaginaire pur si et seulement si Re(z') = 0, soit ici si y = 0 (et x ≠ 2). C'est-à-dire si z est un réel différent de 2.

Méthode 2 : z' imaginaire pur ⇔ z' = - z'	⇔	iz   z - 2	= -	iz   z - 2	⇔	iz   z - 2	= -	-iz   z - 2
	⇔	iz(z - 2)	=	iz(z - 2)	⇔	zz - 2z	=	zz - 2z
	⇔	z	=	z

Or cette dernière équalité traduit le fait que z est un réel.
Par conséquent z' est un imaginaire pur si et seulement si z est un réel différent de 2 (condition d'existence de z').

exercices à venir...