Si on considère un repère orthonormé direct donc laxe des abscisses représente l'axe des nombres réels et l'axe des ordonnées celui des imaginaires purs, on peut associer à un nombre complexe z = x + iy (x et y étant des réels) un point M de coordonnées M(x ; y).
Pour éviter la confusion avec le nombre complexe i, le repère est généralement noté (O ;→u,→v). On parle alors de plan complexe.
Le point M est l'image du nombre complexe z, et le complexe z l'affixe du point M.
De la même manière on peut associer au vecteur→OM(x ; y) le nombre complexe z = x + iy qui sera ainsi l'affixe du vecteur.
Pour deux points A est B du plan complexe respectivement d'affixe zA et zB, le complexe z = zB - zA sera l'affixe du vecteur→AB.
En effet, les coordonnées de ce vecteur sont→AB(xB - xA ; yB - yA) que l'on peut associer au complexe suivant :
z = xB - xA + i(yB - yA) = xB +iyB - (xA + iyA) = zB - zA
Remarque : Deux points d'affixes conjugués z et z sont symétriques par rapport à l'axe des réels.
Dans le plan complexe muni d'un repère (O ;→u,→v), on peut repérer un point M grace à la distance OM et l'angle θ entre le vecteur→u et le vecteur→OM.
Cette distance est telle que OM2 = x2 + y2 (carré de la norme du vecteur). On peut relier cette expression au produit zz vu précédement.
C'est le carré du module du nombre complexe z. Ainsi on aura : |z|2 = zz.
Pour des raisons de symétrie on a |z| = |z| = |-z|.
Autres propriétés des modules :
Le module d'un produit est égal au produit des module : |z×z'| = |z| × |z'|.
Le module de l'inverse est égale à l'invers du module : |1/z| = 1/|z|.
Le module d'un quotient est égal au quotient des modules : |z'/z| = |z'| / |z|.
Le module d'une puissance est égal a la puissance du module : |zn| = |z|n.
Si on pose r = OM = |z| et θ l'angle entre le vecteur→u et le vecteur→OM.
On peut repérer le point correspondant par ses coordonnées polaires M(r ; θ).
Dans le plan complexe, le nombre complexe z associé sera ainsi défini par son module |z| et par l'angle θ.
Cet angle est appelé argument du nombre complexe. On notera arg(z) = θ.
Toujours pour des raisons de symétrie on aura arg(z) = - arg(z) et arg(-z) = arg(z) + π. (ses valeurs étant définies à 2π près ou modulo 2π)
Autres propriétés des arguments :
L'argument d'un produit est égal a la somme des arguments : arg(z×z') = arg(z) + arg(z') [2π].
L'argument de l'inverse est égale à l'opposé de l'argument : arg(1/z) = - arg(z) [2π].
L'argument d'un quotient est égal a la difference des arguments : arg(z'/z) = arg(z') - arg(z) [2π].
L'argument d'une puissance n-ième est égal a n fois l'argument : arg(zn) = n×arg(z) [2π].
Remarque : Si z est un réel alors arg(z) = 0 ou π [2π] et si z est un imaginaire pur arg(z) = π/2 ou -π/2 [2π] .
En résumé, on peut interprétater géométriquement le module d'un complexe comme la norme du vecteur associé ou la distance entre deux points. L'argument du complexe sera l'angle orienté que le vecteur associé fait avec le vecteur base correspondant à l'axe des réels ou l'angle entre deux vecteurs.
Finalement, on peut définir la forme trigonométrique d'un nombre complexe par z = r(cos(θ) + i sin(θ)) avec r = |z| et θ = arg(z).
Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, il suffit de calculer le module du complexe donné.
En factorisant par celui-ci on fait apparaître les deux valeurs correspondant à cos(θ) et sin(θ).
En général ces valeurs sont celles d'angles "remarquables". Attention tout de même aux signes ! Modulo 2π on a :
Pour θ ∈ [0 ; π/2] cos(θ) ≥ 0 et sin(θ) ≥ 0.
Pour θ ∈ [π/2 ; π] cos(θ) ≤ 0 et sin(θ) ≥ 0.
Pour θ ∈ [-π/2, 0] cos(θ) ≥ 0 et sin(θ) ≤ 0.
Pour θ ∈ [-π ; -π/2] cos(θ) ≤ 0 et sin(θ) ≤ 0.
Exemple 5 : Donner les formes trigonométriques des complexes suivants : z1 = - 1 + i, z2 = 1 - i√3.
Après avoir déterminer la forme algébrique de z1×z2, déduire les valeurs exactes de cos(θ) et sin(θ) avec (θ)=arg(z1×z2).
On commence par déterminer le module de chaque complexes :
| |z1|2 = (-1)2 + 12 = 2 donc |z1| = √2 | |z2|2 = 12 + (- √3)2 = 4 d'où |z2| = 2 |
| z1 = √2(- 1/√2 + i/√2) =
√2(- √2/2 + i√2/2) cos(θ1) = - √2/2 et sin(θ1) = √2/2 |
z2 = 2(1/2 - i√3/2) cos(θ2) = 1/2 et sin(θ2) = - √3/2 |
| θ1 = arg(z1) = 3π/4 cos x < 0 et sin x > 0 donc x ∈ [π/2 ; π] |
θ2 = arg(z2) = -π/3 cos x > 0 et sin x < 0 donc x ∈ [-π/2 ; 0] |
On détermine la forme algébrique de
z1×z2 = (- 1 + i)(1 - i√3) = -1 + i√3 + i - i2√3
= -1 + √3 + i(√3 + 1)
D'après les propriétés des modules et des arguments d'un produit on a :
| |z1×z2| = |z1| × |z2| = 2√2 | arg(z1×z2) = arg(z1) + arg(z2) = 3π/4 - π/3 = (3× 3π - 4×&pi)/4×3 = 5π/12. |
| cos(θ) = | -1 + √3 2√2 |
et sin(θ) = | 1 + √3 2√2 |
soit encore cos(θ) = | -√2 + √6 4 |
et sin(θ) = | √2 + √6 4 |
Ensemble 𝕌 des complexes de module 1.
Si l'on transpose le cercle trigonométrique dans le plan complexe, on peut associer à chaque point du cercle un complexe
z = cos(θ) + i sin(θ) avec θ ∈ ℝ.
Tous ces complexes ont un module égal à 1 car cos2(θ) + sin2(θ) = 1. Cet ensemble particulier est noté 𝕌.
D'après les propriétés des modules, on peut démontrer que
si z ∈ 𝕌 et z' ∈ 𝕌 alors le produit z×z' ∈ 𝕌, et l'inverse 1/z ∈ 𝕌.