Applications des nombres complexes en géométrie

• Si l'on cherche à déterminer l'angle entre deux vecteurs a→et→b dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O ;→u,→v).
D'après la relation de Chasles et les propriétés des angles orientés, on peut écrire :
(a→;→b) = (a→;→u) + (u→;→b) = - (u→;→a) + (u→;→b) Soit encore (a→;→b) = (u→;→b) - (u→;→a)
Or, ces deux derniers angles sont les arguments des complexes associés aux deux vecteurs . En utilisant les propriétés des arguments on aura :
Si on considère deux vecteurs a→et→b d'affixes respectives z_a et z_b alors l'angle (a→;→b) = arg(z_b) - arg(z_a) = arg(z_b/z_a) [2π].
Si ces vecteurs sont issus des points A, B, C et D d'affixes respectives z_A, z_B, z_C et z_D

alors l'angle entre les vecteurs AB→et→CD sera :(AB→;→CD) = arg(	zD - zC	) [2π] Bien noter l'ordre "fin - début"
	zB - zA

• Si deux vecteurs sont colinéaires alors l'angle entre eux est nul (vecteurs de même sens) ou de 180° (π ou -π) (vecteurs de sens contraire).
On pourra traduire cela par arg(z_b/z_a) = 0 [π].

Si trois points A, B et C sont tels que arg(	zC - zA	) = 0 [π] alors les points sont alignées.
	zB - zA

Si les 4 points A, B, C et D sont tels que arg(	zD - zC	) = 0 [π] alors les vecteurs AB→et→CD sont colinéaires.
	zB - zA

Et par conséquent les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

• L'orthogonalité de deux vecteurs se traduit par un angle de π/2 ou -π/2 (angles orientés modulo 2π). Soit arg(z_b/z_a)= π/2 [π].
Autrement dit le complexe z_b/z_a est un imaginaire pur.

Si on reprend les trois points A, B et C et que arg(	zC - zA	) =	π	[π] alors le triangle ABC est rectangle en A.
	zB - zA		2

On peut également montrer que le complexe	zC - zA	est un imaginaire pur, ou que zC - zA = ki×(zB - zA) avec k ∈ ℝ.
	zB - zA

Avec quatre points A, B, C et D tels que arg(	zD - zC	) =	π	[π] les vecteurs AB→et→CD seront orthogonaux.
	zB - zA		2

Les droites (AB) et (CD) sont alors perpendiculaires.

Exemple 6 : Soit les points A, B, C et D d'affixes respectifs a = 1+7i, b = -2+2i, c = 3-i et d = 10+5i.

1. Déterminer la forme algébique du complexe z =	a - b	et en déduire la nature du triangle ABC.
	c - b

a - b	=	3 + 5i	=	3 + 5i	×	5 + 3i	=	15 + 9i + 25i - 15	=	34i	= i  On a z = i (imaginaire pur).
c - b		5 - 3i		5 - 3i		5 + 3i		52 + (-3)2		25 + 9

De plus |z| = 1, par conséquent |a - b| = |c - b|. Les distances AB et BC sont donc égales et le triangle ABC est rectangle isocèle en B.

2. Les droites (AC) et (BD) sont-elles perpendiculaires ?

On déterminer la forme algébrique du complexe z =

d - b

=

12 + 3i

=

12 + 3i

×

2 + 8i

=

24 + 96i + 6i - 24

=

102i

=

2×3×17i

=

3i

c - a

2 - 8i

2 - 8i

2 + 8i

22 + (-8)2

4 + 64

2×2×17

2

Le nombre z est un imaginaire pur donc les vecteurs BD→et→AC sont orthogonaux.
Par conséquent, les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.

• Si on considère M'(z') image de M(z) par la translation qui transforme A(z_A) en B(z_B), alors : z' = z +z_B - z_A.

• Si on considère M'(z') image de M(z) par l'homothétie de centre A(z_A) et de rapport k, alors : z' - z_A = k(z - z_A).

• Dans le plan complexe muni d'un repère (O ;→u,→v). Si M'(z') est l'image de M(z) par la rotation de centre O et d'angle θ alors z' = z×e^iθ.
En effet, on peut noter z = r×e^iα avec r = |z|. Par la rotation l'angle (u→,→OM') = α + θ et |z'| = |z| = r.
Par conséquent z' = r×e^i(α+θ) = r×e^iα×e^iθ = z×e^iθ

Pour une rotation d'angle θ par rapport à un point A(z_A), les points M(z) et M'(z') sont tels AM' = AM et l'angle (AM→,→AM') = θ.

Si on considère le complexe	z' - zA	alors |	z' - zA	| = 1 et arg(	z' - zA	) = θ. On peut donc écrire	z' - zA	= eiθ
	z - zA		z - zA		z - zA		z - zA

Soit encore z' - z_A = (z - z_A)e^iθ ou z' = z_A + (z - z_A)e^iθ.

Exemple 7 (d'après Bac S 2005) : Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
1. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'affixes respectives -2+3i, -3-i et 2,08+1,98i.
Le triangle ABC est :

a. : isocèle et non rectangle

b. : rectangle et non isocèle

c. : rectangle et isocèle

d. : ni rectangle ni isocèle

Si on n'est pas guidé par l'énoncé, on commence par déterminer les affixes des vecteurs→AB,→AC et→BC. Si on ne trouve pas de relation évidente, on calcule les carrés de ces modules, puis on vérifie si une égalité du théorème de Phytagore est validée.
On a →AB(-1-4i),→AC(4.08-1.02i) et→BC(5.08+2.98i). Ici on a z_AC = 1.02i×z_AB donc arg(z_AC/z_AB)= π/2 [2π]. Le triangle est rectangle...
Si non, |z_AB|² = (-1)² + (-4)² = 17. |z_AC|² = (4.08)² + (-1.02)² = 17.6868. |z_BC|² = (5.08)² + 2.98² = 34.6868.
On constate que |z_BC|² = |z_AB|² + |z_AC|², par conséquent le triangle ABC est rectangle en A, mais il n'est pas isocèle car |z_AB| ≠ |z_AC| ≠ |z_BC|.

2. A tout nombre complexe z ≠ -2, on associe le nombre complexe z' défini par : z' =	z - 4i
	z + 2

L'ensemble des points M d'affixe z tels que |z'| = 1 est :

a. : un cercle de rayon 1

b. : une droite

c. : une droite privée d'un point

d. : un cercle privé d'un point

C'est une droite, la médiatrice du segment [AB] avec A et B d'affixes : -2 et 4i.

3. Les notations sont les mêmes qu'à la question 2.
L'ensemble des points M d'affixe z tels que z' est un réel est :

a. : un cercle

b. : une droite

c. : une droite privée d'un point

d. : un cercle privé d'un point

Pas d'autre solution que de poser z = x + iy, déterminer l'expression de z', puis Im(z') = 0. Cela conduit à la droite d'équation 4x + 2y + 8 = 0. Mais, attention z' ≠ -2 donc x ≠ -2 et y ≠ 0. Cela donne la droite privée du point d'affixe -2.

4. Dans le plan complexe, on donne le point D d'affixe i. L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle -π/3 est :

a. : z' =   1  - i  √3  z -  √3  +  1  i 2 2 2 2

b. : z' =   -  1  + i  √3  z -  √3  +  1  i 2 2 2 2

c. : z' =   1  - i  √3  z -  √3  -  1  i 2 2 2 2

d. : z' =   1  - i  √3  z +  √3  +  1  i 2 2 2 2

En utilisant la formule précédente avec z_A = i, θ = -π/3 et e^-iπ/3 = 1/2 -i√3/2, on arrive à :
z' = i + (z - i)e^-iπ/3 = (1/2 -i √3/2)z + i - i(1/2 - i√3/2) = (1/2 -i√3/2)z + i(1/2) -√3/2 = (1/2 -i√3/2)z - √3/2 + (1/2)i. Réponse a.