Nombres complexes
Nombres complexes : point de vue algébrique
L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Ses éléments sont généralement noté z et s'écrivent sous la forme :
z = a + i×b avec a et b deux réels quelconques et i le nombre tel que i2 = -1.
Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
Le nombre réel a est sa partie réelle notée Re(z) et le nombre réel b sa partie imaginaire notée Im(z).
Remarque : Si a = 0, on parle d'imaginaire pur : z = i×b avec b ∈ ℝ.
Si b = 0, z est un réel. Par conséquent ℝ ⊂ ℂ.
Deux nombres complexes sont égaux si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
z = z' ⇔ a = a' et b = b'.
Un nombre complexe est nul si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
z = 0 ⇔ a = 0 et b = 0.
On retrouve les mêmes propriétés que dans ℝ.
Associativité et commutativité de l'addition et la multiplication.
Distributivité de la mutiplication par rapport à l'addition.
Si on considère deux nombres complexes z = a + i×b et z' = a' + i×b' alors :
L'addition est définie par z + z' = a + a' + i×(b + b').
La mutiplication est définie par :
z×z' = (a + i×b)×(a' + i×b') = aa' + aib' + iba' + i2bb' = aa' - bb' + i×(ab'+a'b).
Si z' = z on obtient z×z' = z2 = a2 - b2 + 2abi.
On définit le nombre conjugué d'un nombre complexe z = a + i×b le nombre complexe noté z tel que z = a - i×b.
Ainsi le produit zz = a2 + b2. On remarquera que z + z = 2a = 2×Re(z) et z - z = 2ib = 2i×Im(z).
De plus, si z est un réel alors z = z. Si z est un imaginaire pur alors z = - z ou z = - z.
On retrouve le nombre de départ si on fait le conjugué du conjugué : =z = z
Autres propriétés des conjugués :
Le conjugué d'une somme est égale à la somme des conjugués : z + z' = z + z'.
Le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués : z×z' = z × z'.
Le conjugué de l'inverse est égale à l'invers du conjugué : 1/z = 1/z.
Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués : z'/z = z' / z.
Le conjugué d'une puissance est égal a la puissance de conjugué : zn = (z)n.
L'inverse d'un nombre complexe non nul et le quotient de deux nombres complexes existent.
| Avec les notation utilisées on a : | 1 z |
= | 1 a + ib |
et | z' z |
= | a' + ib' a + ib |
(z ≠ 0). |
| Pour l'inverse de z, on aura alors : | 1 a + ib |
= | 1 a + ib |
× | a - ib a - ib |
= | a - ib a2 + b2 |
Exemple 1 : Résoudre dans ℂ l'équation iz + 3 = z - i.
Méthode 1 : On pose z = x + iy avec x ∈ ℝ et y ∈ ℝ. L'équation s'écrit :
| i(x + iy) + 3 = x + iy - i | ⇔ | ix - y + 3 = x + i(y - 1) | ⇔ |  |
- y + 3 = x | ⇔ | |
x = - y + 3 | ⇔ | |
x = 1 | |
| x = y - 1 | -y + 3 = y - 1 | y = 2 | ||||||||||
Méthode 2 : On isole z :
| iz + 3 = z - i | ⇔ | (i - 1)×z = - i - 3 | ⇔ | z = | - i - 3 i - 1 |
⇔ | z = | -i - 3 i - 1 |
× | -i - 1 -i - 1 |
|
| ⇔ | z = | (i + 3)(i +1) 12 + (-1)2 |
⇔ | z = | -1 + i + 3i +3 2 |
⇔ | z = 2i + 1 | ||||
Exemple 2 : Résoudre dans ℂ l'équation z3 - 3z2 + 4z - 2 = 0.
Si une racine n'est pas donnée, on cherche une racine "évidente" 1 ou -1 voire 2 ou -2.
Ici si z = 1, z3 - 3z2 + 4z - 2 = 1 - 3 + 4 - 2 = 0. On peut factoriser par (z - 1).
On obtient z3 - 3z2 + 4z - 2 = (z - 1)(z2 - 2z + 2) par la méthode de son choix.
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Méthode 1 (classique) : On développe (z - 1)(az2 + bz + c). On identifie les coefficients avec ceux de l'expression initiale |
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Méthode 2 (division polynomiale) : On pose la division de l'expression initiale par (z - 1). |
Quand Δ < 0, le polynôme n'a pas de racine dans ℝ. Dans ℂ, il y a deux racines conjuguées l'une de l'autre :
| z1 = | - b - i√|Δ| 2a |
et z2 = z1 = | - b + i√|Δ| 2a |
. Ici on aura : | z1 = | 2 - i√|-4| 2 |
= 1 - i | et z2 = | 2 + i√|-4| 2 |
= 1 + i |