Matrice diagonale. Matrice identité

Une matrice carrée est dite diagonale lorsque tous les termes autres que ceux de la diagonale principale sont nuls.
La matrice identité d'ordre n notée I est une matrice diagonale avec uniquement des 1.

Remarque : Avec la matrice identité, I×A = A×I = A.

	1	0	0	0		Matrice identité d'ordre 4
	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

Inverse d'une matrice carrée

Une matrice carrée d'ordre n est dite inversible s'il existe une matrice B telle que A×B = B×A = I. La matrice inverse B est notée A^-1

exemple : On considère la matrice A ci-dessous et deux réels a et b.
On se propose de déterminer la matrice inverse de A en résolvant le système suivant :

2x + y = a 5x + 3y = b

A = 2 1 5 3

Les inconnues sont les réels x et y. On isole y à partir de la première équation. On obtient y = a - 2x.
On remplace y par cette expression dans la seconde équation.
On arrive à 5x + 3(a - 2x) = b soit 5x + 3a - 6x = b d'où x = 3a - b.
On remplace x dans l'expression de y. On a y = a - 2(3a -b) soit y = -5a + 2b.

On écrit le résultat sous forme d'un système :		x = 3a - b
		y = -5a + 2b

On pose X et B les matrices colonnes X=		x		et B=		a
		y				b

Ainsi ce système peut s'écrire X = A'×B avec A' =		3	-1
		-5	2

Avec cette notation, le système initial s'écrit A×X = B.
Or si A' est la matrice inverse de A on a A'×A = I et I×X = X.
En multipliant par A' l'équation matricielle initiale, on obtient A'×A×X = A'×B d'où X = A'×B.

A'×A	2 1 5 3		A×A'	3 -1 -5 2		Vérifions que A'×A = A×A' = I. Remarque : det(A) = 2×3 - 5×1 = 1 ≠ 0
3 -1 -5 2	1 0 0 1	= I	2 1 5 3	1 0 0 1	= I

test : Vérifier que la matrice suivante n'est pas inversible, puis calculer son déterminant. A =		2	1
		4	2

Si la matrice est inversible alors il existe une matrice B telle que A×B = I.

On pose B =

a

b

On détermine la matrice A×B =

2a + c

2b + d

On identifie avec I =

1

0

c

d

4a + 2c

4b + 2d

0

1

Ainsi on doit avoir 2a + c = 1 et 4a + 2c = 0 ; 2b + d = 0 et 4b + 2d = 1, ce qui est impossible.
Il n'existe donc pas de matrice B telle que A×B = I et par conséquent la matrice A n'est pas invesible.
Le déterminant de cette matrice est det(A) = 2×2 - 4×1 = 0.

Matrice inverse d'une matrice carrée d'ordre 2

On considère une matrice carrée d'ordre 2 A =		a	b		et son déterminant det(A) = ad - bc.
		c	d

Si det(A) ≠ 0 alors la matrice est inversible et A-1 =	1   det(A)		d	-b
			-c	a

Exercice (d'après Bac S 2020) : Soit t un nombre réel. On pose A =		t	3		et I =		1	0
		2t	-t				0	1

Affirmation 1 : Il n'existe aucune valeur du réel t pour laquelle A² = I.

t 3 2t -t

×

t 3 2t -t

=

t2 + 6t 3t - 3t 2t2 - 2t2 6t + t2

=

t2 + 6t 0 0 t2 + 6t

A2 = I ⇔ t2 + 6t = 1 ⇔ t2 + 6t - 1 = 0

Le discriminant du polynôme est Δ = 6² - 4 × 1 ×(-1) = 40
Δ > 0 donc l'équation admet 2 racines distinctes. (t₁ = -3 + √10 et t₂ = -3 - √10)
Par conséquent, il existe deux valeurs du réel t pour lesquelles A² = I. L'affirmation 1 est Fausse.

On considère les matrices A =		0	1	-1		et I =		1	0	0
		-1	2	-1				0	1	0
		1	-1	2				0	0	1

Affirmation 2 : Pour tout entier n ≥ 2, Aⁿ = (2ⁿ - 1)A + (2 - 2ⁿ)I.
Un raisonnement par récurrence s'impose...
Initialisation : Pour n = 2... On calcule d'une part A² et d'autre par(2² - 1)A + (2 - 2²)I = 3A - 2I....
Hérédité : On suppose la propriété vraie pour n ≥ 2. On veux montrer qu'elle est alors vraie au rang n+1.

An+1 = An×A = [(2n - 1)A + (2 - 2n)I]×A	d'après HR (Hypothèse de récurrence...)
An+1 = (2n - 1)A2 + (2 - 2n)I×A	cf. distributivité
An+1 = (2n - 1)(3A - 2I) + (2 - 2n)×A	car I×A = A et A2 = 3A - 2I
An+1 = [3×2n - 3 + 2 - 2n]×A - 2×(2n - 1)×I	On regroupe les "×A" et "×I"
An+1 = [(2 + 1)×2n - 1 - 2n]×A + (2 - 2n+1)×I	On remplace 3 par 2 + 1
An+1 = [2×2n + 2n - 1 - 2n]×A + (2 - 2n+1)×I
An+1 = (2n+1 - 1)×A + (2 - 2n+1)×I	La propriété est donc vraie au rand n+1

Conclusion : La propriété a été initialisée et est héréditaire donc d'après le principe de récurrence,
elle est vraie pour tout eniter n ≥ 2. L'affirmation 2 est Vraie.