Notion de matrice.

Une matrice est un tableau de valeurs composé de m lignes et n colonnes définisant son format noté m×n ou (m,n).
Si m = 1 la matrice est dite matrice colonne. Si n = 1 la matrice est dite matrice ligne.
Si m = n on parle de matrice carrée d'ordre n.

( 1 2 3 )	1 2 3	1 2 3 2 0 1 3 1 0	1 2 3 2 0 1	1 2 2 0 3 1
Matrice ligne	Matrice colonne	Matrice carrée d'ordre 3	Matrice 2×3	Matrice 3×2

Les valeurs d'une matrice sont repérées par le numéro de la ligne i et le numéro de la colonne j.

	a11	a12	...	a1n		i varie de 1 à m     j varie de 1 à n
	a21	a22	...	a2n
	...	...	aij	...
	am1	am2	...	amn

Remarque : La matrice dont toutes les valeurs sont nulles est appelée la matrice nulle. On la note O.

Operation sur les matrices.

Addition

L'addition de deux matrices n'est possible que si elles ont même dimension (format ou taille).
On additionne alors chaque termes de même position :

A = a11 a12 a21 a22

B = b11 b12 b21 b22

A+B = a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22

Remarque : Avec la matrice nulle : A + O = O + A = A.

Produit par un réel

On peut multiplier une matrice par un nombre réel. Il suffit de multiplier chaque termes par ce nombre:

A = a11 a12 a21 a22

λ×A = λ×a11 λ×a12 λ×a21 λ×a22

Produit de deux matrices

Le produit de deux matrices n'est possible que si le nombre colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.
Si on considère deux matrices A et B de dimensions respectives m×n et m'×n', le produit A×B n'est possible que si n = m'.
La dimension de la matrice résultante sera m×n'. On peut schématiser la situation par :

m ×	n	×	n	× n'	⟹	m × n'
A		×	B

Le terme de la matrice produit de ligne i et de colonne j, est la somme des produits a_ik×b_kj avec k = 1, ... , n.

	B b11 b12 b21 b22 b31 b32	On présente les deux matrices A et B comme ci-contre. On note A×B = C. La dimension de A est 2×3 et celle de B est 3×2. L'espace formé donne la dimension de C : 2×2. L'intersection des lignes de la matrice A et des colonnes de la matrice B donne la position de la valeur dans la matrice C. Ainsi c11 = a11×b11 + a12×b21 + a13×b31 ; c21 = a21×b11 ; + a22×b21 + a23×b31 ; c12 = ...
A a11 a12 a13 a21 a22 a23	c11 c12 c21 c22

Remarque 1 : Le produit B×A ne sera possible que si m = n'. Toutefois, les matrices obtenues sont différentes.
Si on considère deux matrices A et B de dimensions respectives 3×2 et 2×3, la matrice A×B aura pour dimension 3×3 tandis que la matrice B×A aura pour dimension 2×2.

Remarque 2 : Pour des matrices carrées, A×B et B×A existent mais ne sont généralement pas identiques.

	B 2 0 -3 1			A 1 2 0 -1
A 1 2 0 -1	-4 2 3 -1	A×B	B 2 0 -3 1	2 4 -3 -7	B×A

Puissance d'une matrice

Pour tout entier naturel non nul n, le produit de n facteurs égaux à A est noté Aⁿ.
On l'appelle puissance n-ième de la matrice A.
Si la calculatrice n'est pas autorisée, on peut procéder comme ci-après :

	1 3 -1 1	1 3 -1 1	1 3 -1 1	1 3 -1 1	...
1 3 -1 1	-2 6 -2 -2	-8 0 0 -8	-8 -24 8 -8	16 -48 16 16
A	A2	A3	A4	A5