Une matrice est un tableau de valeurs composé de m lignes et n colonnes définisant son format noté m×n ou (m,n).
Si m = 1 la matrice est dite matrice colonne. Si n = 1 la matrice est dite matrice ligne.
Si m = n on parle de matrice carrée d'ordre n.
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Matrice ligne | Matrice colonne | Matrice carrée d'ordre 3 |
Matrice 2×3 | Matrice 3×2 |
Les valeurs d'une matrice sont repérées par le numéro de la ligne i et le numéro de la colonne j.
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a11 | a12 | ... | a1n | ![]() |
i varie de 1 à m j varie de 1 à n |
a21 | a22 | ... | a2n | |||
... | ... | aij | ... | |||
am1 | am2 | ... | amn |
L'addition de deux matrices n'est possible que si elles ont même dimension (format ou taille).
On additionne alors chaque termes de même position :
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On peut multiplier une matrice par un nombre réel. Il suffit de multiplier chaque termes par ce nombre:
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Le produit de deux matrices n'est possible que si le nombre colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.
Si on considère deux matrices A et B de dimensions respectives m×n et m'×n', le produit A×B n'est possible que si n = m'.
La dimension de la matrice résultante sera m×n'. On peut schématiser la situation par :
m × | n | × | n | × n' | ⟹ | m × n' |
A | × | B |
Le terme de la matrice produit de ligne i et de colonne j, est la somme des produits aik×bkj avec k = 1, ... , n.
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On présente les deux matrices A et B comme ci-contre. On note A×B = C. La dimension de A est 2×3 et celle de B est 3×2. L'espace formé donne la dimension de C : 2×2. L'intersection des lignes de la matrice A et des colonnes de la matrice B donne la position de la valeur dans la matrice C. Ainsi c11 = a11×b11 + a12×b21 + a13×b31 ; c21 = a21×b11 ; + a22×b21 + a23×b31 ; c12 = ... |
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Remarque 1 : Le produit B×A ne sera possible que si m = n'. Toutefois, les matrices obtenues sont différentes.
Si on considère deux matrices A et B de dimensions respectives 3×2 et 2×3, la matrice A×B aura pour dimension 3×3 tandis que la matrice B×A aura pour dimension 2×2.
Remarque 2 : Pour des matrices carrées, A×B et B×A existent mais ne sont généralement pas identiques.
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A×B |
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B×A |
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... | ||||||||||||||||||||||||||||||
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A | A2 | A3 | A4 | A5 |