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Arithmetique

Divisibilité dans ℤ.

Dans ℤ, un nombre b divise un nombre a si et seulement si il existe un entier relatif k tel que a = k×b.
On dit que b divise a ou que b est un diviseur de a. On peut également dire que a est un multiple de b.
Tout diviseur de b est alors un diviseur de a et tout multiple de a est un multiple de b.

Remarque : On a 0 = 0×n, donc 0 est un multiple de tout nombre entier.
Mais, attention, 0 n'est le diviseur d'aucun.

Si b divise a alors b divise -a et -b divise a ainsi que -a. Et par conséquent, a et -a ont les mêmes diviseurs.
Tout entier relatif a un nombre fini de diviseurs compris entre lui-même et son opposé.
Par contre tout entier relatif a un nombre infini de multiples...

Propriètés : Si b divise a et a divise c alors b divise c.
Si b divise a et b divise c, alors b divise toute combinaison linéaire de a et de c.
C'est-à-dire, si u et v sont des entiers relatifs alors b divise a×u+c×v.

On peut symboliser ses propriètés par :
{ b | a
a | c		 ⇒ b | c et { b | a
b | c		 ⇒  b | u×a + v×c avec (u,v) ∈ ℤ2
Il faut donc vérifier que la réciproque (⇐) est vraie...

Dans ℤ, un nombre b divise un nombre a si et seulement si il existe un entier relatif k tel que a = k×b.
On dit que b divise a ou que b est un diviseur de a. On peut également dire que a est un multiple de b.
Tout diviseur de b est alors un diviseur de a et tout multiple de a est un multiple de b.

Tout entier relatif non nul a possède un nombre fini de diviseurs compris entre -a et a. L'ensemble des diviseurs de a est noté D(a).
Le nombre de multiples est lui infini. L'ensemble des multiples de a est noté aℤ.

Exemple 1 : Déterminer les diviseurs de 30, puis ceux de 16. 30 1 16 1
On peut utiliser la méthode vue en primaire. 15 2 8 2
On commence par 30 (ou 16) et 1. On passe en revue tous les entiers 10 3 4 4
jusqu'à ce qu'en fin de colonne on obtienne deux diviseurs consécutifs. 6 5    
(ou identiques)        

Etant donné que l'on travaille dans ℤ, les diviseurs de 30 sont :
30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -5, -6, -10, -15 et -30.
On peut également écrire D(16) = {16; 8; 4; 2; 1; -1; -2; -4; -8; -16}

Exemple 2 : Déterminer les entiers naturels n tels que n-3 divise 4.
Les diviseurs de 4 sont : 4, 2, 1, -1, -2, -4.
On doit alors résoudre 6 équations du premier degré à une inconnue.
n-3 = 4 soit n = 7 ; n-3 = 2 soit n = 5 ;
On peut présenter cela dans un tableau
n-3 -4 -2 -1 1 2 4
n -1 1 2 4 5 7
n-3 = 1 soit n = 4 ; n-3 = -1 soit n = 2 ;
n-3 = -2 soit n = 1 ; n-3 = -4 soit n = -1 ;

L'ensemble des solutions est donc : S = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7} car -1 ∉ ℕ

Exemple 3 : Déterminer les entiers naturels n tels que n-3 divise n2 + 3.
# On commence par mettre l'expression de n2+3 sous la forme A×(n-3) + B.
A est généralement une fonction de n, mais B doit être un entier.
Pour obtenir n2 on peut écrire n2 = n×(n-3) + 3n. On a alors, n2 + 3 = n×(n-3) + 3n + 3.
On recommence avec 3n = 3(n-3) + 9 conduisant à n2 + 3 = n×(n-3) + 3(n-3) + 9 + 3.
Soit finalement n2 + 3 = (n+3)×(n-3) + 12.
D'après la seconde propriété : Si n-3 divise n-3 (lui même) et n-3 divise n2 + 3,
alors n-3 divise toutes combinaisons linéaires. En particulier, 1×(n2 + 3) - (n+3)×(n-3) = 12.
Par conséquent, n - 3 divise 12.

# Si cela n'a pas été demandé, on recherche tous les diviseurs de 12. (Ne pas oublier les valeurs négatives !)
Les diviseurs de 12 sont : -12 ; -6 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12. D'où le tableau suivant :
n-3 -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12
n -9 -3 -1 0 1 2 4 5 6 7 9 15
12 1
6 2
4 3
Pour n = 0, n - 3 = -3, n2 + 3 = 3 et -3 divise 3.
Pour n = 1, n - 3 = -2, n2 + 3 = 4 et -2 divise 4.
Pour n = 2, n - 3 = -1, n2 + 3 = 7 et -1 divise 7.
Pour n = 4, n - 3 = 1, n2 + 3 = 19 et 1 divise 19.
Pour n = 5, n - 3 = 2, n2 + 3 = 28 et 2 divise 28.
Pour n = 6, n - 3 = 3, n2 + 3 = 39 et 3 divise 39.
Pour n = 7, n - 3 = 4, n2 + 3 = 52 et 4 divise 52 (4×13).
Pour n = 9, n - 3 = 6, n2 + 3 = 84 et 6 divise 84 (6×14).
Pour n = 15, n - 3 = 12, n2 + 3 = 228 et 12 divise 228 (12×19).
# Il faut alors vérifier que ces valeurs sont bien solutions.

Dans cet exemple, -9, -3 et -1 ne font pas parties des solutions
car ce ne sont pas des entiers naturels.
# On peut alors conclure :

L'ensemble des solutions est S = {0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9; 15}

Avec la calculatrice le reste de la division euclidienne de a par b est donné :
par la fonction Rem(a,b) avec la Numworks ; par la fonction a Rmdr b avec les Casio xxx (mettre expressions a et b entre parenthèses).
Faire ensuite un tableau de valeur avec un pas de 1...