Transformation du plan.

Rotaion de cenre O origine du repère

On considère un point M(x ; y) dans un plan muni d'un repère orthonormé (O ;→i ,→j) .
On recherche la matrice associée à la rotation de centre O est d'angle θ.

Pour cela on repére le point M par la distance OM = r et l'angle (i→,→OM) = α.
La rotation de centre O est d'angle θ conduit au point M' tel que OM' = r et l'angle (i→ ,→OM') = α + θ.
Ainsi, en écrivant les coordonnées cartésiennes des points M(x ; y) et M'(x' ; y') on arrive a :

	x = r×cosα	et		x' = r×cos(α + θ)	⇔		x' = r×cos(α)cos(θ) - r×sin(α)sin(θ)	⇔		x' = x×cos(θ) - y×sin(θ)
	y = r×sinα			y' = r×sin(α + θ)			y' = r×cos(α)sin(θ) + r×sin(α)cos(θ)			y' = x×sin(θ) + y×cos(θ)

En posant les matrices colonnes X

x

et X'

x'

on a X' = A×X avec

A =

cosθ

-sinθ

y

y'

sinθ

cosθ

Homothétie de rapport k

On considère le point M'(x' ; y') image du point M(x ; y) par l'homothétie de rapport k et de centre O.
On peut traduire cela par l'égalité→OM' = k×OM→.

Si O est l'origine du repère alors on peut écrire :		x' = k×x	⇔		x' = k×x + 0×y
		y' = k×y			y' = 0×x + k×y

En posant X=

x

et X'=

x'

on a X' = A×X avec

A =

k

0

y

y'

0

k

Si le centre est un point H(x_H ; y_H) qui n'est pas l'origine du repère, la relation de Chasles conduit à :

→HM' = k×HM→	⇔	→HO +→OM' = k×(HO→+→OM)
	⇔	→OM' = k×OM→+ k×HO→-→HO
	⇔	→OM' = k×OM→+ (1 - k)×OH→

En utilisant les notations X=

x

et X'=

x'

on a X' = A×X +B avec

A =

k

0

et B =

(1-k)xH

y

y'

0

k

(1-k)yH

Suite de matrices colonnes (U_n)

On considère deux suites numériques a_n et b_n. On peut définir une suite de matrices colonnes notée (U_n) telle que :

Pour tout entier naturel n Un =		an
		bn

On peut également définir une suite de matrices colonnes par une relation de récurrence du type U_n+1 = A×U_n ou U_n+1 = A×U_n + B.
La matrice A est une matrice carrée dont l'ordre est imposé par le nombre de ligne de la matrice colonne U_n.
La matrice B est une matrice colonne similaire à U_n. Dans tous les cas le terme initial U₀ doit être donné.

Lorsque la suite de matrices colonnes est définie par U_n+1 = A×U_n alors on peut montrer que l'on a U_n = Aⁿ×U₀.
(récurrence immédiate !)

Si tous les éléments qui constituent la matrice U_n convergent, on dira que la suite de matrices (U_n) converge.
Sa limite sera la matrice colonne dont les coefficients sont les limites de chacun des termes a_n, b_n,... .

Lorsque la suite de matrices colonnes est définie par U_n+1 = A×U_n + B converge, alors sa limite est la matrice U telle que U = A×U + B.
Cette matrice est appelée état stable de la suite (U_n). On peut montrer que U = (I - A)^-1×B où I est la matrice identité.

Pour tout entier naturel n Un =		an
		bn