Probabilitées

Variable aléatoire et loi de probabilité

Vocabulaire Rappels

Expérience aléatoire : expérience dont le résultat dépend du hasard.
Eventualité ou issue : résultat possible d'une expérience aléatoire.
Univers : ensemble de toutes les éventualités d'une expérience aléatoire.
Evénement : sous ensemble de l'univers.
Evénement élémentaire : événement réduit à un seul élément.
Si A et B sont deux événements.
L'événement "A ou B" noté A∩B, est le sous ensemble de l'univers constitué des éventualités appartenant à la fois à A et à B.
L'événement "A et B" noté A∪B, est le sous ensemble de l'univers constitué des éventualités appartenant soit à A et soit à B (soit aux deux).
L'événement contraire de A, noté A, est le sous-ensemble de l'univers constitué des éventualités qui ne sont pas dans A.

La probabilité d'un événement A, notée p(A), est égale à la somme des probabilités des éventualités qui constituent A.
p(Ω) = 1 ; p(∅) = 0 ; p(A) = 1 - p(A) ; p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)

Lorsque tous les p_i sont égaux entre eux, on dit que la loi de probabilité est équirépartie ou qu'il y a équiprobabilité.
p₁ = p₂ = ... = p_n = 1/n

Variable aléatoire

Si Ω est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire alors on peut définir une variable aléatoire généralement notée X en associant à chaque issue un nombre réel x.
On note l'événement "X prend la valeur x_i" : (X = x_i). La probabilité de cet événement sera notée p(X = x_i) ou simplement p_i.

Loi de probabilité

Définir une loi de probabilité sur un univers Ω c'est associer à chaque événement possible de la variable aléatoire considérée la probabilité correspondante.
On présente généralement une loi de probabilité à l'aide d'un tableau :

Valeur de X x₁ x₂ ... x_n

p(X = x_i) p₁ p₂ ... p_n

Exemple : On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
Lorsque la face supérieure indique : 1 on gagne 5 € ; 2,3,4 on perd 3 € ; 5, 6 on gagne 2 €.
On définit la variable aléatoire X qui au numéro obtenu associe le gain en €.
Le dé étant équilibré les issues 1, 2, ..., 6 sont équiprobables.
Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont -3, 2 et 5.
X = -3 est obtenu si la face indique 2, 3 ou 4 donc p(X=-3) = 3×1/6 = 1/2.
X = 2 est obtenu en faisant 5 ou 6 donc p(X=2) = 2×1/6 = 1/3.
X = 5 est obtenu d'une seule manière, p(X=5) = 1/6 .
On peut présenter la loi de probabilité de X par un tableau :

Valeur de X ou x_i -3 2 5

p(X = x_i) 1
2 1
3 1
6

Espérance, variance et écart type

On considère une variable aléatoire X prenant les valeurs x₁, x₂, ...,x_n avec respectivement les probabilités p₁, p₂, ...,p_n.

L'espérance mathématique de X est le réel noté E(X) défini par :

E(X) = x₁×p₁ + x₂×p₂ + ... + x_n×p_n =

_n
∑
^{i = 1}

x_i×p_i

L'espérance est en quelque sorte la moyenne des x_i pondérées par les p_i associées.

En utilisant les valeurs de l'exemple ci-dessus : E(x) = (-3)×

1
2

+ 2×

1
3

+ 5×

1
6

-9 + 4 + 5
6

= 0

Lorsque E(X) = 0, on dit que le jeu est équitable. Losque E(x) < 0, le jeu est défavorable au joueur (favorable à l'organisateur de jeu).

La variance de X est le réel noté V(X) défini par :

V(X) = (x₁ - E(x))²×p₁ + (x₂ - E(x))²×p₂ + ... + (x_n - E(x))²×p_n =

_n
∑
^{i = 1}

(x_i - E(x))²×p_i

La variance peut être vue comme la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
On peut montrer que la variance s'écrit également comme la différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne.

V(X) ==

_n
∑
^{i = 1}

(x_i)²×p_i - (E(x))²

L'écart type noté σ(X) est défini par : σ(X) = √V(X)