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Autres applications du produit scalaire

D'après sa définition, le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est le vecteur nul ou si le cosinus de l'angle est nul. C'est-à-dire si l'angle entre les deux vecteurs est de 90°.

  • Détermination d'une équation cartésienne d'une droite
    Exemple : Soient les points A(5;4), B(-3;2) et C(4;-2).
    Déterminer une équation cartésienne : de la droite (AB) ; de la droite Δ médiatrice du segment [AB] et de la droite Δ' perpendiculaire à (AB) passant par C.
    Soit I le milieu de [AB] et soit M(x;y) un point du plan.
    On a→AB( -8
    -2    		 ) et→AM( x - 5
    y - 4    		 ) ; I(1;3) et →IM( x - 1
    y - 3    		 ) ; →CM( x - 4
    y + 2    		 ). 
    M ∈ (AB)  ⇔  les vecteurs→AB et→AM sont colinéaires.
       ⇔  -8 × (y - 4) + 2 × (x - 5) = 0  ⇔  -8y + 32 + 2x - 10 = 0
       ⇔  2x - 8y + 22 = 0
    Une équation cartésienne de la droite (AB) est donc x - 4y + 11 = 0.

    La médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le milieu I du segment [AB].
    M ∈ Δ  ⇔  →AB.IM→ = 0
       ⇔  -8 × (x - 1) - 2 × (y - 3) = 0  ⇔  -8x + 8 - 2y + 6 = 0
       ⇔  -8x - 2y + 14 = 0 (on peut diviser par -2)
    Une équation cartésienne de la droite Δ est donc 4x + y - 7 = 0.

    M ∈ Δ'  ⇔  →AB.CM→ = 0
       ⇔  -8 × (x - 4) - 2 × (y + 2) = 0  ⇔  -8x + 32 - 2y - 4 = 0
       ⇔  -8x - 2y + 28 = 0 (on peut diviser par -2)
    Une équation cartésienne de la droite Δ' est donc 4x + y - 14 = 0.

    		•  

  • Détermination de l'équation d'un cercle
    Si C désigne le cercle de centre O(x0 ; y0) et de rayon r alors un point M(x ; y) appartient à C si et seulement si : (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
    Cette relation est une équation du cercle.

    Soient A et B deux points distincts. Si on considère le cercle de diamètre AB alors tout point M appartenant au cercle est tel que le triangle ABM est rectangle en M. Les droites (AM) et (BM) sont donc perpendiculaires. Par conséquent on poura écrire :
    →AM.BM→= 0 ou →MA.MB→= 0.

    Exemple : Soient les points A(-2;4) et B(4;0).
    Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB] en utilisant le produit scalaire de deux vecteurs. Puis en déduire les coordonnées de son centre et la valeur exacte de son rayon.
    Soit M(x;y) un point du plan. On a alors→AM( x + 2
    y - 4    		 ) et→BM( x - 4
    y    		 ). 
    →AM.BM→= 0  ⇔  (x + 2)×(x - 4) + (y - 4)×y = 0
       ⇔  x2 - 4x + 2x - 8 + y2 - 4y = 0
       ⇔  x2 - 2x + y2 - 4y - 8 = 0 (forme développée de l'équation du cercle)
       ⇔  (x - 1)2 - 1 + (y - 2)2 - 4 - 8 = 0
       ⇔  (x - 1)2 + (y - 2)2 = 13 (forme factorisée de l'équation du cercle)
    Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le point O(1;2) et pour rayon √13