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Suites arithmétiques et suites géométriques

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique

On pose Sn =  n
∑
i = 0		 i = 0 + 1 + 2 + ... + (n-1) + n = 1 + 2 + ... + (n-1) + n
  n termes
  
On peut écrire :   Sn =  1+2+ ... +(n-1)+n  on fait la somme membre à membre
des deux expressions
ou   Sn =  n+(n-1)+ ... +2+1
On obtient :   2×Sn =  (n+1)+(n+1)+ ... + (n+1)+(n+1)  = n×(n +1)
Par conséquent :    Sn =  n(n+1) 
2

On écrit tous les termes Ui de i = 0 à i = n en fonction de U0 et on fait la somme membre à membre

 U0
U1
U2
U3
 
Un-1
Un 		 = 
 = 
 = 
 = 
...
 = 
 =  		U0
U0 + r
U0 + 2r
U0 + 3r
 
U0 + (n-1)r
U0 + nr 		 n+1 égalités
U0 + U1 + ... + Un-1 + Un  =  (n + 1)×U0 + r×(1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n)
On a donc
n
∑
i = 0		 Ui =  (n + 1)×U0 + r×Sn  =  (n + 1)×U0 + r× n(n + 1)
2
 
 
     		    =  (n + 1)
2		 ×(2U0 + nr)  =  (n + 1)
2		 ×(U0 + U0 + nr)  =  (n + 1)
2		 ×(U0 + Un)
D'où l'expression  n
∑
 i = 0		 Ui = U0 + U1 + ... + Un-1 + Un =  (n + 1)× (U0 + Un) 
2
(n+1) est le nombre de termes, U0 le premier terme et Un le dernier terme de la somme.

Exemple : On considère la suite arithmétique U de raison 3 et de premier terme 2.
Calculer la somme des dix premiers termes. Calculer U3 + U4 + ... + U7.
La suite est arithmétique, on a U0 = 2 et Un+1 = Un + 3 = U0 + 3×n. U9 = 2 + 3×9 = 29.
La somme des dix premiers termes est : U0 + U1 + ... + U9 = 10× (2 + 29) 
2		 = 5×31 = 155
De U3 à U7 il y a 7 - 3 + 1 =5 termes. U3 = 2 + 3×3 = 11 et U7 = 2 + 3×7 = 23.
Par conséquent U3 + U4 + ... + U7 = 5× (11 + 23) 
2		  = 5× 34 
2		 = 5×17 = 85

Somme des premiers termes d'une suite géométique

On pose Sn =  n
∑
i = 0		 qi   Sn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
q×Sn = q + q2 + q3 + ... + qn + qn+1
Sn - q×Sn = 1 - qn+1
Donc Sn =  1 - qn+1
1 - q		   q ≠ 1 sinon la suite est constante...

On écrit tous les termes Ui de i = 0 à i = n en fonction de U0 et on fait la somme membre à membre

 U0 = U0
U1 = qU0
U2 = q2U0
...
Un-1 = qn-1U0
Un = qnU0 		 n+1 égalités
U0 + U1 + ... + Un-1 + Un  =  U0×(1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)
On a donc
n
∑
i = 0		 Ui =  U0×Sn  = U0  1 - qn+1
1 - q		  =  U0 - qn+1×U0
1 - q		  =  U0 - q×Un
1 - q
D'où l'expression  n
∑
 i = 0		 Ui = U0 + U1 + ... + Un-1 + Un =  U0 - q×Un 
1 - q
On peut également retenir l'expression  n
∑
 i = 0		 Ui = U0× 1 - qn+1
1 - q
q est la raison de la suite considérée, (n+1) le nombre de termes,
U0 est le premier terme et Un le dernier terme de la somme.

Exemple : On considère la suite géométique U de raison 2 et de premier terme 3.
Calculer la somme des dix premiers termes. Calculer U3 + U4 + ... + U7.
La suite est géométique, on a U0 = 3 et Un+1 = 2×Un = U0×2n. U9 = 3×29 = 1536.
La somme des dix premiers termes est : U0 + U1 + ... + U9 =  3 - 2×1536 
1 - 2		 = 3072 - 3 = 3069
Le premier terme de la somme à calculer est U3= 3×23= 24 et le dernier est U7= 3×27= 384.
Par conséquent U3 + U4 + ... + U7 =  (24 - 2×384) 
1 - 2		  = 768 - 24 = 744.
En utilisant la seconde expression. Sachant qu'il y a 7 - 3 + 1 = 5 termes dans la somme.
et que le premier terme est U3= 24, on a :
U3 + U4 + ... + U7 = 24× (1 - 25) 
1 - 2		  = 24×(32 - 1) = 24×31 = 744.