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Variable aléatoire et loi de probabilité

Loi à densité sur un intervalle

Une fonction f définie sur un intervalle [a ; b] est une fonction de densité si elle est continue et positive sur cet intervalle et si l'intégrale sur cet intervalle est égal à 1.
∫ b
a		 f(x)dx = 1
Exemple : (Liban mai 2019 exercice 1) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [e ; e2]
par f(x) =   1 
e2 		 ln(x)
On admet que la fonction x ↦ xln(x) - x est une primitive de la fonction x ↦ ln(x) sur l'intervalle [e ; e2].
Affirmation 2 : f est une fonction de densité sur [e ; e2].

On sait que la fonction ln(x) est continue et strictement positive pour tout x > 1. De plus e2 > 0 donc la fonction f est continue et strictement positive sur [e ; e2].
Une primitive de f est F(x) =   1 
e2 		 (xln(x) - x) et ∫ e2
e 		 f(x)dx = F(e2) - F(e)
F(e2) -F(e) =   1 
e2 		 (e2×ln(e2) - e2) -   1 
e2 		 (e×ln(e) - e) =   1 
e2 		 (e2×2 - e2) -   1 
e2 		 (e×1 - e) = 1 - 0 = 1
Par conséquent, f est bien une fonction de densité sur [e ; e2]. L'Affirmation 2 est Vraie.

Loi uniforme sur un intervalle [a;b]

Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [a ; b], avec a ≠ b,
si sa densité est la fonction définie sur [a ; b] par f(x) =    1  
b - a		 .

Pour tout intervalle [c ; d] inclus dans [a ; b], on a :  p(c < X < d) =  d - c
b - a		 .
L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur un intervalle [a ; b]
est  E(X) =  a + b
2		 .
Remarque : p(X < c) = p(a < X < c) si a < c < b et p(X > d) = p(d < X < b) si a < d < b

Exemple 1 : (Métropole - La Réunion juin 2019 exercice 1) Soit k un réel tel que 0 < k < 18.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [k ; 18]. On suppose que l'espérance de X est égale à 12. Affirmation 2 : La valeur de k est 9.
On doit avoir E(X) =  k + 18
2		  = 12 soit k = 12×2 - 18 = 6 ≠ 9
L'Affirmation 2 est Fausse. 		 
Exemple 2 : (Polynésie septembre 2018 exercice 1) Dans un hôtel, le petit déjeuner n'est servi que jusqu'à 10 heures 15 minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre 9 heures et 11 heures. On admet que l'heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [9 ; 11].
Affirmation D :
La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner est 0,425.

10 heures 15 minutes = 10 + 15/60 = 10,25. On note X la variable aléatoire associée à l'heure de lever.
La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner est :
p(X > 10,25) = p(10,25 < X < 11) =  11 - 10,25
11 - 9		  =  0,75
2		  = 0,375 ≠ 0,425
L'Affirmation D est Fausse.

Loi normale N(μ,σ2) d'espérance μ et d'écart-type σ

Si une variable aléatoire X suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ.
Alors il faut retenir les probabilités suivantes :
p(μ - σ < X < μ + σ) = 0,683 environ 68 %
p(μ - 2σ < X < μ + 2σ) = 0,954 environ 95 %
p(μ - 3σ < X < μ + 3σ) = 0,997 soit 99,7 %

La droite X = μ est un axe de symétrie :
p(X < μ) = p(X > μ) = 0,50 soit 50 %
p(X < μ - α) = p(X > μ + α)
p(μ - α < X < μ + α) = 2×p(0 < X < μ + α)

Exemple : (Amérique du Sud novembre 2019 exercice 1) La masse des plaquettes est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance μ = 250 et d'écart type σ = 1. Alors, à 10-3 près, on a :
A. p(X < 250) ≃ 0,459 B. p(X > 249) ≃ 0,659
C. p(X < 249) ≃ 0,159 D. p(X < 252) ≃ 0,997
A ne convient pas. Si μ = 250 alors p(X < 250) = 0,5
D ne convient pas. p(X < 252) = p(X < μ+2σ) = 0,5 + p(0 < X < μ+2σ) ≃ 0,5 + 0,954/2 = 0,977
On a p(X > 249) = p(X > μ-σ) = 0,5 + p(μ-σ < X < 0) ≃ 0,5 + 0,683/2 = 0.8415.
donc B ne convient pas.
On a p(X < 249) = p(X < μ-σ) = 0,5 - p(μ-σ < X < 0) ≃ 0,5 - 0,683/2 = 0.1585 ≃ 0,159.
La bonne réponse est la C.