Suites géométiques

Une suite géométique est définie par une relation de récurrence et son premier terme :
 U_n+1 = q×U_n et U₀ étant donné

L'écriture explicite d'une suite géométique est de la forme :  U_n = qⁿ×U₀ .
Si la suite commence par U₁ on a :  U_n = q^n-1×U₁ . Plus généralement :  U_n = q^n-p×U_p .

Limite de la suite (qⁿ)

Suites arithméticogéométriques

Exemple : (Asie Juin 2019 Exercice 3 Partie A)
Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève 8,5 tonnes d'algues sur les plages de sa commune. Au 1er septembre 2018, il y avait 230 tonnes d'algues sur ces plages.
Tous les ans, entre le 1er octobre et le 1er septembre suivant, la quantité d'algues sur ces plages augmente de 4%.
On note U_n la quantité en tonnes d'algues présente sur les plages au 1er septembre de l'année 2018 + n. Ainsi, U₀ = 230.

Richard prélève 8,5 t sur les 230 t disponibles initialement. Il reste donc 230 - 8,5 = 221,5 t. Cette quantité augment de 4%. En 2019 il y aura 221,5*1,04 = 230,36 t.

On admet que, pour tout n ∈ N, U_n+1 = 1,04U_n - 8,84.

2. Soit (V_n) la suite définie par, pour tout n ∈ N, V_n = U_n - 221.
a. Démontrer que (V_n) est une suite géométrique de raison 1,04.
Préciser son premier terme.
On admet que, pour tout n ∈ N, U_n+1 = 1,04U_n - 8,84.

Vn+1	= Un+1 - 221	La suite (Vn) est de la forme Vn+1 = q ×Vn C'est donc une suite géométrique de raison q = 1,04 et de premier terme V0 = U0 - 221 = 230 - 221 = 9.
	= 1,04Un - 8,84 - 221
	= 1,04Un - 229,84
	= 1,04×(Un - 229,84/1,04)
	= 1,04×(Un - 221)
	= 1,04×Vn

b. Exprimer, pour tout n ∈ N, V_n en fonction de n.

La suite (V_n) étant géométrique on peut écrire : V_n = V₀×qⁿ = 9×1,04ⁿ

c. En déduire que, pour tout n ∈ N, U_n = 221 + 9×1,04ⁿ.

On a V_n = U_n - 221 donc U_n = V_n + 221
D'où l'expression U_n = 9×1,04ⁿ + 221

3. La quantité d'algues présentes sur ces plages dépassera-t-elle un jour 250 tonnes ?
Si oui, préciser au bout de combien d'années cette quantité sera atteinte.

On a q = 1,04 donc q > 1 par conséquent

lim n→+∞

qn = +∞

Dans l'expression de U_n le terme + 9×1,04ⁿ ne peut qu'augmenter donc dans un certain temps la valeur de la suite dépassera 250.
Pour déterminer le rang n pour à partir duquel cela arrivera on doit résoudre l'inéquation :

Un ≥ 250	⇔ 221 + 9×1,04n ≥ 250	ln(29/9)/×ln(1,04) ≈ 29,8
	⇔ 9×1,04n ≥ 250 - 221
	⇔ 9×1,04n ≥ 29
	⇔ 1,04n ≥ 29/9
	⇔ n×ln(1,04) ≥ ln(29/9)
	⇔ n ≥ ln(29/9)/×ln(1,04) car ln(1,04)>0

Le premier entier répondant à la question est n = 30;
On peut vérifier : U₂₉≈ 249,06 et U₃₀≈ 250,19