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Exemple 4 : La plaque d'immatriculation d'un véhicule est composée de deux lettres, suivies de trois chiffres (sauf 000), puis de deux lettres.
On exclut les lettres I, O, U car trop ressemblantes avec respectivement 1, 0 et V.
On exclut également la série de lettres WW et SS à gauche, et la série SS à droite.

Dans ce genre d'exercice l'ordre compte et les répétitions sont possibles. On utlise généralement des k-liste (nk)

1. Déterminer le nombre de plaques d'immatriculation différentes :

a. Sans la seconde restriction.

On peut considérer le numéro d'immatriculation comme issu du produit cartésien de 3 ensembles :
L'ensemble G dont les éléments sont des mots de 2 lettres piochées parmi les 26 - 3 = 23 lettres permises ;
L'ensemble N dont les éléments sont des listes de 3 chiffres pris parmi 10 sauf 000 et l'ensemble D identique à G.
Ainsi on a : Card(G) = 232 = 529 ; Card(N) = 103 - 1 = 999 et Card(D) = Card(G) = 529.
Le nombre de plaque d'immatriculation possible (sauf celles en 000 et sans la second restriction) est :
Card(G)×Card(N)×Card(D)= 529×999×529 = 279 561 159.

Remarque : On aurait pu considérer les lettres de gauche et de droite comme un seul ensemble formé de 4 lettres tirées avec remise parmi 23 disponibles, soit 234 possibilités.

b. Avec la seconde restriction.

On exclut les séries de lettres WW et SS à gauche et SS à droite.
Cela revient à considérer un ensemble G' contenant tous les éléments de G sauf 2 (WW et SS)
et un ensemble D' contenant tous les éléments de D sauf 1 (SS).
Par conséquent, Card(G') = Card(G) - 2 = 529 - 2 = 527 et Card(D') = Card(D) - 1 = 529 - 1 = 528.
Le nombre de plaque d'immatriculation possible en tenant compte de toutes les restrictions est donc :
Card(G')×Card(N)×Card(D')= 527×999×528 = 277 977 744.

2. Combien de plaques différentes y a-t-il lorsque les 4 lettres sont différentes et lorsque les 3 chiffres le sont également ?

Ici, l'ordre compte mais les répétitions ne sont possibles. On va utliser les arrangements.

On peut considéré les lettres de gauche et de droite comme un seul ensemble formé de 4 lettres prises sans remise parmi les 23 lettres disponibles.
Soit 23×22×21×20 = 212 520 possibilités.
Les trois chiffres sont choisis parmi 10 disponibles et sans répétition, soit 10×9×8 = 720 possibilités.
Le nombre de plaques possibles est donc : 212 520 × 720 = 153 014 400.

3. Combien de plaques différentes contiennent la série WC à gauche ou à droite ?

Si WC est à gauche, il y a 999×528 posibilités (Card(N)×Card(D')). Si WC est à droite, 527×999 possibilités (Card(G')×Card(N)).
En ajoutant ces deux valeurs on compte en fait deux fois les plaques qui ont WC à gauche et à droite. Il faut donc soustraire 999.
Le nombre de plaques qui contiennent la série WC à gauche ou à droite est donc : 999×(528 + 527 - 1) = 1 052 946.

Exemple 5 : On dispose d'une commode avec trois tiroirs superposés. O veut y ranger cinq pulls. Chaque tiroir peut contenir les cinq pulls.
1- De combien de façons peut-on ranger les cinq pulls ?
Comme ce n'est pas précisé on peut se demander si les pulls sont tous différents ou tous identiques (indiscernables) !
a) Les pulls sont différents.
Dans ce type d'execice, on peut différencier les objets en notant P1,...,Pk et se demander où les placer un après l'autre.
On obtient ainsi une série de 5 lettres (ici k=5) comme BBBMH,... avec B, M et H mis pour Bas, Milieu et Haut, que l'on peut considérer comme un quintuplet (B;B;B;M;H). En effet, si on inverse 2 lettres cela change la répartition, donc l'ordre compte. De plus, on peut utiliser plusieurs fois un même tiroir, donc il y a répétition.
Le nombre de façons de disposer les k = 5 pulls dans les n = 3 tiroirs est le nombre de k-uplets : nk = 35 = 243.
On peut également dire que pour le premier pull on à le choix entre 3 tiroirs. Même chose pour le deuxième, le troisième, le quatrième et le cinquième, soit 3×3×3×3×3 = 35 = 243 possibilités.
b) Les pulls sont identiques.
Si on symbolise un pull par P (sans indice car tous identiques), on peut écrire les répartitions comme PPP/P/P (3 pulls en bas, 1 au milieu et 1 en haut) ou /PPPPP/ (tous les pulls au milieu et pas de pull ni en bas ni en haute)... Les / symbolisent les séparations entre les tiroirs.
Ainsi, tout se passe comme si on cherchait à positionner au hasard les 2 séparations parmi 5+2 emplacements.
Le nombre de façons de disposer les k = 5 pulls dans les n = 3 tiroirs revient à disposer n-1 = 2 élements parmi k+n-1 = 7 emplacements soit :
( k+n-1
n-1		 )  =  ( 7
2		 )  =    7!  
2!×5!		  =    7×6×5!  
2×5!		  = 7×3 = 21. On obtient la même valeur en calculant  ( k+n-1
k		 )
2- De combien de façons peut-on ranger les cinq pulls si aucun tiroir ne reste vide ?
a) Les pulls sont différents. Plusieurs méhodes peuvent être utilisées...
• Méthode 1 : Le plus souvent, on utilise l'événement contraire que l'on retranche au nombre total de possibilités. Ici, à "aucun tiroir vide" correspond "au moins un tiroir vide". On peut alors décrire deux situations : 1 seul tiroir est vide ou 2 tiroirs sont vides.
Dans cette dernière situation, les 5 pulls sont soit dans le tiroir du bas, soit dans celui du milieu ou soit dans celui du haut. On a donc 3 possibilités.
Si un seul et un seul tiroir est vide, les pulls sont alors distribués dans les 2 autres. On se trouve dans une situation semblable à celle de la question 1 mais avec n = 2. On a alors 25 = 32 possibilités. Toutefois, en faisant cela on compte également les 2 cas pour lesquels les pulls sont tous rangés dans le même tiroir (ce qui correspondent à deux tiroirs vides). Il ne faut pas oublier que le tiroir vide peut être celui du bas, du milieu ou du haut. On a donc 3×(32 - 2) = 90 possibilités supplémentaires. Le nombre de façons d'avoir au moins un tiroir vide est donc 90 + 3 = 93.
Par conséquent, le nombre de façons de ranger 5 pulls dans 3 tiroirs et que aucun ne reste vide sera donc 243 - 93 = 150.
• Méthode 2 : Les cas correspodants à "aucun tiroir vide" sont de deux types (voir explications en b ci-après). On peut les noter "311" et "221".
Pour obtenir le premier type "311" on peut choisir au hasard 3 pulls parmi les 5, puis 1 parmi les 2 restants. Le dernier allant forcement dans le troisième tiroir. (On obtiendrait le même résultat en choisant 1 parmi 5, puis 3 parmi 4 ou 1 parmi 5 puis 1 parmi 4...)
Le nombre de combinaisons possibles est alors :  ( 5
3		 )  ×  ( 2
1		 )  × 1   =    5!  
3!×2!		  × 2   =    5×4×3!  
3!×2		  × 2   = 5×4 = 20.
Pour le second type "221", un raisonnement similaire conduit au nombre de combinaisons suivant :  ( 5
2		 )  ×  ( 3
2		 )  × 1   = 30.
Il ne faut toujours pas oublier qu'il y à 3 cas pour chacun de ces deux types (on aurait pu les écrire "311", "131", "113", "221", "212" et "122" en accord avec la position des tiroirs bas, milieu et haut). Par conséquent, le nombre de façons de ranger 5 pulls dans 3 tiroirs et que aucun ne reste vide est : 3×20 + 3×30 = 60 + 90 = 150.
b) Les pulls sont identiques.
Si aucun tiroir ne doit rester vide, il y a au moins 1 pull dans chaque tiroir et il reste 2 pulls à ranger. On peut ajouter les 2 pulls dans un des tiroirs ce qui conduit à 3 possibilites (les 3 pulls en bas, au milieu ou en haut). On peut également ajouter 1 dans un tiroir et le second dans un autre. Un seul tiroir contient alors 1 seul pull qui peut être en bas, au milieu ou en haut, soit 3 autres possibilités.
Finalement, le nombre de façons de ranger les cinq pulls si aucun tiroir ne reste vide est de 6 (voir plus haut).
3- Que se passe-t-il si les tiroirs sont indiscernables ?