Fonction composée

Soit g une fonction définie sur un intervalle J de ℝ. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ.
Si pour tout x ∈ I, f(x) ∈ J, alors on peut définir une fonction notée g∘f (lire g rond f) telle que (g∘f)(x) = g(f(x)).
Cette fonction est la composée de f par g. Elle est définie sur l'intervalle I.

Remarque : Les fonctions composées g∘f et f∘g sont généralement différentes.

Exemple : La fonction définie par h(x) = √x²+1 est la composée de la fonction f(x)= x²+1 par la fonction g(x)= √x :

	f		g		C'est comme si on avait 𝒳 = f(x) = x2+1 et g(𝒳) = √𝒳 = √x2+1
x	⟼	x2+1	⟼	√x2+1

On sait que la fonction racine carrée est définie sur I = [0 ; +&inifin;[.
La fonction f est un polynôme du second degré, donc elle est définie sur J = ℝ. De plus, ∀ x ∈ ℝ, x²+1 > 0.
Par conséquent, g∘f est défnie sur ℝ

Exemple : La fonction définie par k(x) = √x²-1 est la composée de la fonction f(x)= x²-1 par la fonction g(x)= √x.
Pour que g(f(x)) c'est-à dire √f(x) il faut que f(x) ≥ 0.
La fonction f est un polynôme du second degré. Elle est définie sur J = ℝ. Les racines de l'équation f(x) = 0 sont 1 et -1.
Or le signe d'un tel polynôme est celui de -a (coefficient de x²) entre les racines, sinon celui de a.
Ici, a = 1 et 1 > 0. Donc f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ]−∞ ; -1] ∪ [1 ; +∞[.
La fonction k = g∘f sera alors définie sur ce même intervalle I = ]−∞ ; -1] ∪ [1 ; +∞[.

Dérivée d'une fonction composée

Si g∘f désigne une fonction composée dérivable sur un intervalle I alors (g∘f)' = f ' × g'∘f.

Exemple : Déterminer les dérivées des fonctions h et k précédentes.
Pour h(x) = √x²+1, D_h = ℝ.
f(x) = x²+1 donc f '(x) = 2x

g(x)= √x et g '(x) =

1   2√x

Attention √x dérivable sur ]0 ; + ∞[

Ici, pas de problème car ∀ x ∈ ℝ, x²+1 > 0 (x²+1 ne s'annule pas)
On a (g'∘f)(x) = g'(f(x)). On pose 𝒳 = f(x) = x²+1 et

On a (g'∘f)(x) = g'(f(x)). On pose 𝒳 = f(x) = x2+1 donc g '(𝒳) =

1   2√𝒳

=

1      2√x2+1

On a alors, h'(x) = f '(x) × g'(f(x)) = 2x ×

1      2√x2+1

soit h'(x) =

x      √x2+1

Pour k(x) = √x²-1, D_k = ]−∞ ; -1] ∪ [1 ; +∞[, mais f(x)= x²-1 s'annule pour x = 1 et x = -1.
Par conséquent k est dérivable sur ]−∞ ; -1[ ∪ ]1 ; +∞[.

On a alors, k'(x) = 2x ×

1      2√x2-1

=

x      √x2-1

Limites d'une fonction composée

Si

lim x→a

f(x) = b, et

lim x→b

g(x) = c, alors

lim x→a

(g∘f)(x) = c a, b et c sont des réels ou ∓∞

Exemple : Soit la fonction f définie par f(x) = ln(x² + x + 1).
Justifier que D_f = ℝ, puis déterminer sa limite en +∞
La fonction ln(x) est définie sur ]0 ; +∞[, f sera définie pour touot x tel que x² + x + 1 > 0.
Le discriminant du polynôme x² + x + 1 est Δ = b² -4ac avec a = b = c = 1. soit Δ = 1² -4×1×1 = 1-4 = -3.
Δ < 0, le polynôme n'as pas de racine et son signe est celui de a donc ∀ x ∈ ℝ x² + x + 1 > 0.
Par conséquent f est bien définie sur ℝ

On a

lim x→+∞

(x2 + x + 1) = +∞, et

lim x→+∞

ln(x) = +∞, donc par composition

lim x→+∞

f(x) = +∞

Variations d'une fonction composée

Propriété hors programme : Si les fonctions f et g ont même sens de variation respectivement sur I et f(I) (intervalle image de I par f)
alors la fonction composée g∘f est strictement croissante sur I.
Si les fonctions f et g n'ont pas le même sens de variation respectivement sur I et f(I)
alors la fonctiona composée g∘f est strictement décroissante.

Etudier les variations d'une fonction revient à étudier le signe de sa dérivée...