Soit g une fonction définie sur un intervalle J de ℝ. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ.
Si pour tout x ∈ I, f(x) ∈ J, alors on peut définir une fonction notée g∘f (lire g rond f) telle que (g∘f)(x) = g(f(x)).
Cette fonction est la composée de f par g. Elle est définie sur l'intervalle I.
Remarque : Les fonctions composées g∘f et f∘g sont généralement différentes.
Exemple : La fonction définie par h(x) = √x2+1 est la composée de la fonction f(x)= x2+1 par la fonction g(x)= √x :
f | g | C'est comme si on avait 𝒳 = f(x) = x2+1 et g(𝒳) = √𝒳 = √x2+1 | |||
x | ⟼ | x2+1 | ⟼ | √x2+1 |
Exemple : La fonction définie par k(x) = √x2-1 est la composée de la fonction f(x)= x2-1 par la fonction g(x)= √x.
Pour que g(f(x)) c'est-à dire √f(x) il faut que f(x) ≥ 0.
La fonction f est un polynôme du second degré. Elle est définie sur J = ℝ. Les racines de l'équation f(x) = 0 sont 1 et -1.
Or le signe d'un tel polynôme est celui de -a (coefficient de x2) entre les racines, sinon celui de a.
Ici, a = 1 et 1 > 0. Donc f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ]−∞ ; -1] ∪ [1 ; +∞[.
La fonction k = g∘f sera alors définie sur ce même intervalle I = ]−∞ ; -1] ∪ [1 ; +∞[.
Si g∘f désigne une fonction composée dérivable sur un intervalle I alors (g∘f)' = f ' × g'∘f.
Exemple : Déterminer les dérivées des fonctions h et k précédentes.
Pour h(x) = √x2+1, Dh = ℝ.
f(x) = x2+1 donc f '(x) = 2x
g(x)= √x et g '(x) = | 1 2√x |
Attention √x dérivable sur ]0 ; + ∞[ |
On a (g'∘f)(x) = g'(f(x)). On pose 𝒳 = f(x) = x2+1 donc g '(𝒳) = | 1 2√𝒳 |
= | 1 2√x2+1 |
On a alors, h'(x) = f '(x) × g'(f(x)) = 2x × | 1 2√x2+1 |
soit h'(x) = | x √x2+1 |
On a alors, k'(x) = 2x × | 1 2√x2-1 |
= | x √x2-1 |
Si | lim x→a |
f(x) = b, et | lim x→b |
g(x) = c, alors | lim x→a |
(g∘f)(x) = c a, b et c sont des réels ou ∓∞ |
Exemple : Soit la fonction f définie par f(x) = ln(x2 + x + 1).
Justifier que Df = ℝ, puis déterminer sa limite en +∞
La fonction ln(x) est définie sur ]0 ; +∞[, f sera définie pour touot x tel que x2 + x + 1 > 0.
Le discriminant du polynôme x2 + x + 1 est Δ = b2 -4ac avec a = b = c = 1.
soit Δ = 12 -4×1×1 = 1-4 = -3.
Δ < 0, le polynôme n'as pas de racine et son signe est celui de a donc ∀ x ∈ ℝ x2 + x + 1 > 0.
Par conséquent f est bien définie sur ℝ
On a | lim x→+∞ |
(x2 + x + 1) = +∞, et | lim x→+∞ |
ln(x) = +∞, donc par composition | lim x→+∞ |
f(x) = +∞ |
Etudier les variations d'une fonction revient à étudier le signe de sa dérivée...