Exemple (d'après bac Polynésie 2022) :
| Partie A : On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : g(x) = | 2 ln(x) x |
1. Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
Déterminons les limites de la fonction g en +∞ et en 0.
En +∞ : Par croissances comparées de la fonction logarithme népérien et de la fonction x,
| lim x → +∞ |
ln(x) x |
=0. | lim x → +∞ |
g(x) | =0 |
| lim x → 0+ |
ln(x) | = −∞, | lim x → 0+ |
1 x |
+∞ | et 2 étant positif. | Par produit | lim x → 0+ |
g(x) = | -∞ |
2. Vérifier que g(1) = 0.
| g(1) = | 2 ln(1) 1 |
= 0, car ln(1) = 0. |
3. Déterminer g'(x) et étudier son signe.
| g = | u v |
; g' = | u'v - uv' v2 |
avec u(x) = 2 ln(x) et v(x) = x. | Donc, u'(x) = | 2 x |
et v'(x) = 1 |
| Par conséquent, g' (x) = | 2 x |
×x - 2 ln(x) × 1 | = | 2 - 2ln(x) x2 |
| x2 | ||||
4. Dresser son tableau de variation en faisant apparaître les valeurs des questions précédentes.
D'après les questions précédentes on peut établir le tableau suivant :
| 0 | 1 | e | +∞ | ||||
| Signe de g' | || | + | 0 | - | |||
| variations de g |
|| || || |
⁝ | 2/e | ||||
⟶ |
⟶ |
||||||
| −∞ | 0 | 0 | |||||
Partie B : On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x) = [ln(x)]2;
1. Démontrer que f est une primitive de g.
| On a f = u2 et f ' = 2u'u (dérivée de la composée de u par x2) avec u(x) = ln(x) et u'(x) = | 1 x |
| D'où, f '(x) = 2× | 1 x |
×ln(x) = | 2ln(x) x |
= g(x) |
2. A l'aide de la partie A, etudier :
a. la convexité de f.
D'après ce qui précédent f ' = g donc f " = g '
D'après la partie A le signe de g ' donc celui de f " est :
Pour tout x ∈ ]0 ; e] f "(x) ≥ 0 donc la fonction f est convexe sur cet intervalle.
Pour tout x ∈ [e ; -∞[ f "(x) ≤ 0 donc la fonction f est concave.
Pour x = e, f " s'annule en changeant de signe. La courbe de f présente un point d'inflexion en e.
Remarque : On peut également utiliser les variations de g = f'...
b. les variations de f.
Le signe de f ' est le même que celui de g et d'après le tableau de variations de g,
on a f '(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [1 ; +∞[
et on a f '(x) ≤ 0 pour tout x ∈ ]0 ; 1].
3. a. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse e.
L'équation réduite de la tangente à une courbe représentative d'une fonction en un point d'abscisse a est : y = f '(a)(x - a) = f(a).
| Ici a = e, f(e) = [ln(e)]2 = 1 et f '(e) = g(e) = | 2 e |
d'où l'équation : y = | 2 e |
(x - e) + 1 soit encore y = | 2 e |
x - 1 |
| b. En déduire que pour tout réel x ∈ ]0 ; e ] : [ln(x)]2 ≥ | 2 e |
x - 1 |
| Par conséquent, ∀ x ∈ ]0 ; e] ; f(x) ≥ | 2 e |
x - 1 , soit [ln(x)]2 ≥ | 2 e |
x - 1 |