Représentation paramétrique d'une droite

On considère un point A(x_A ; y_A ; z_A) et un vecteur→u(a ; b ; c).
Si le vecteur→u est un vecteur directeur de la droite passant par A alors tout point M(x ; y, z) de la droite est tel que
les vecteurs→AM et→u sont colinéaires. Cela signifie que leurs coordonnées sont proportionnelles.
Il existe donc un réel t tel que→AM = t×u→ D'où le système suivant :

	x - xA = t×a	soit encore		x = xA + a×t		Ce dernier système correspond à une représentation paramétrique de la droite. Le réel t est le paramètre.
	y - yA = t×b			y = yA + b×t
	z - zA = t×c			z = zA + c×t

Remarque (hors programme): En éliminant le paramètre t du système de trois équations, on arrive à un système de deux équations. Ces équations sont des équations cartésiennes de deux plans. La droite est alors l'intersection de ces deux plans.

Equation cartésienne d'un plan

On considère un point A(x_A ; y_A ; z_A) et un vecteur→n(a ; b ; c).
Si le vecteur n est normal au plan passant par A alors pour tout point M(x ; y, z) du plan on a :

→AM.n→= 0 ⇔	(x - xA)×a + (y - yA)×b + (z - zA)×c = 0
⇔	ax + by + cz - (axA + byA + czA) = 0

En posant d = - (ax_A + by_A + cz_A), on obtient une équation cartésienne du plan. A savoir ax + by + cz + d = 0.

Réciproquement si une équation cartésienne d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0, alors les coordonnées d'un vecteur normal au plan sont→n(a ; b ; c).

Remarque (hors programme): On peut également définir un système correspondant à une reprèsentation paramétrique d'un plan.
En effet, tout vecteur du plan peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Ainsi, en considérant un point A(x_A ; y_A ; z_A) et les vecteurs→u(a ; b ; c) et→u'(a' ; b' ; c'), pour tout point M(x ; y, z) du plan,
il existe un couple (t ; t') ∈ ℝ² tel que : →AM = t×u→ +t'×u'→. On arrive alors au système suivant :

	x = xA + a×t + a'×t'		En éliminant les paramètres t et t', on retrouve une équation cartésienne du plan.
	y = yA + b×t + b'×t'
	z = zA + c×t + c'×t'

Exemple : Soit le point A(1 ; 2 ; 3) et les vecteurs→u(1 ; 1 ; 1) et→v(1 ; 2 ; -1).

1. Justifier que les vecteurs→u et→v constituent une base d'un plan 𝒫.
Les coordonnées des vecteurs ne sont par proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. Ils constituent donc une base d'un plan 𝒫.

2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur→n normal au plan 𝒫.
On pose→n(a ; b ; c). Le vecteur →n sera normal au plan si il est orthogonal aux vecteurs →u et →v.
Et par conséquent si les produits scalaires →n.u→ et→n.v→ sont nuls.

→n normal à 𝒫 ⇔		→n.u→= 0	⇔		a×1 + b×1 + c×1 = 0	⇔		a + b + c = 0	(E1)
		→n.v→= 0			a×1 + b×2 + c×(-1) = 0			a + 2b - c = 0	(E2)

Un système équivalent est obtenu en réalisant les combinaisons linéaires (E1) + (E2) et (E1) - (E2) :

	2a + 3b = 0	(E1) + (E2)	⇔		a = −3b/2		Les vecteurs normaux au plan 𝒫 sont de la forme →n(−3b/2 ; b ; b/2) avec b ∈ ℝ
	-b + 2c = 0	(E1) - (E2)			c = b/2

Un vecteur normal est donc →n(−3 ; 2 ; 1) en choisissant b = 2.

3. En déduire une équation cartésienne du plan 𝒫 passant par le point A.
Les plans 𝒫 sont de de la forme : -3x + 2y + z + d = 0 avec d ∈ ℝ
L'unique plan passant par A vérifie : -3×1 + 2×2 + 1×3 + d = 0 soit d = -4.
Une équation cartésienne de ce plan est : -3x + 2y + z - 4 = 0.

Remarque (hors programme) : En utilisant une reprèsentation paramétrique du plan on obtient le système suivant :

	x = 1 + t + t'	(F1)		On élimine d'abord t' : (F1) + (F3) et (F2) + 2(F3)			x + z = 4 + 2t	(G1)		3(x + z) - 2(y - 2z) = 12 - 16 soit 3x - 2y - z = -4 ou encore 3x - 2y - z + 4 = 0
	y = 2 + t + 2t'	(F2)					y + 2z = 8 + 3t	(G2)
	z = 3 + t - t'	(F3)					On élimine t : 3(G1)-2(G2)

En multipliant par (-1) cette dernière équation, on retrouve celle obtenue précédemment.