Exemple (D'après bac 2024) :
Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace, (d₁) et (d₂) est la longueur du segment [EF],
où E et F sont des points appartenant respectivement à (d₁) et à (d₂) tels que la droite (EF) est orthogonale à (d₁) et (d₂).

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ;→i,→j,→k)
Soit (d₁) la droite passant par A(1 ; 2 ;-1) de vecteur directeur→u₁(1 ; 2 ; 0) et (d₂) la droite

dont une représentation paramétrique est :		x = 0
		y = 1 + t    avec t ∈ ℝ.
		z = 2 + t

1. Donner une représentation paramétrique de la droite (d₁).

Une représentation paramétrique de la droite (d1) passant par A et de vecteur directeur→u1 est :		x = 1 + t
		y = 2 + 2t    avec t ∈ ℝ.
		z = -1

2. Démontrer que les droites (d₁) et (d₂) sont non coplanaires.
Pour montrer que deux droites sont non coplanaires, on montrer qu'elles non pas de point commun ET qu'elles ne sont pas parallèles.
Si les droites sont sécantes alors existe un couple de réels (t ; t') tel que :

	0 = 1 + t'	⇔		t' = -1
	1 + t = 2 + 2t'			1 + -3 = 2 - 2   cette équation est fausse donc le système n'a pas de solution.
	2 + t = -1			t = -3

Les droites ne sont pas sécantes. De plus un vecteur directeur de la droite (d₂) est→u₂(0 ; 1 ; 1).
Les coordonnées des vecteurs→u₁ et→u₂ ne sont pas proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires et les droites ne sont pas parallèles.
Par conséquent, les droites sont non coplanaires.

3. Soit 𝒫 le plan passant par A et dirigé par les vecteurs non colinéaires→u₁ et→w(2 ; -1 ; 1).
Justifier qu'une équation cartésienne du plan 𝒫 est : -2x + y + 5z + 5 = 0.
La méthode la plus "simple" ici est de dire qu'un vecteur normal au plan est→n(-2 ; 1 ; 5). On vérifie qu'il est bien orthogonaux aux vecteurs→u₁ et→w, ET que le point A appartient au plan.
→n.u₁→= -2×1 + 1×2 + 5×0 = -2 + 2 = 0 et →n.w→= -2×2 + 1×(-1) + 5×1 = - 4 - 1 + 5 = 0. Par conséquent le vecteur→n est orthogonal aux vecteurs→u₁ et→w. De plus, -2×x_A + 1×y_A + 5×z_A + 5 = -2×1 + 1×2 + 5×(-1) + 5 = -2 + 2 - 5 + 5 = 0. Le point A appartient bien au plan 𝒫.
Une équation cartésienne du plan 𝒫 est bien -2x + y + 5z + 5 = 0.

Remarque : Si une équation n'est pas donnée, on détermine les coordonnées d'un vecteur normal au plan. On note ce vecteur→n(a ; b ; c).
Il doit être orthogonal à deux vecterus non colinéaires du plan.

On doit donc avoir :		→n.u1→= 0	⇔		a×1 + b×2 + c×0 = 0	⇔		a + 2b = 0	⇔		a = - 2b
		→n.w→ = 0			a×2 + b×(-1) + c×1 = 0			2a - b + c = 0			c = -2a + b = 5b

Il y a une infinité de vecteurs. Ils sont de la forme (-2k ; k ; 5k) avec k ∈ ℝ. Pour k = 1 on retrouve→n(-2 ; 1 ; 5).
Une équation du plan est de la forme -2x + y + 5z + d = 0. Or A ∈ 𝒫 donc -2×x_A + 1×y_A + 5×z_A + d = 0. Soit -2×1 + 1×2 + 5×(-1) + d = 0.
On en déduit d = 5. Par conséquent, une équation du plan est -2x + y + 5z + 5 = 0.

4. a. Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifier que la droite (d₂) et le plan 𝒫 sont sécants.
• Méthode 1 (avec les propriétés) : Les droites (d₁) et (d₂) sont non coplanaires donc la droite (d₂) ne peut appartenir au plan 𝒫. De plus les droites (d₁) et (d₂) ne sont pas parallèles, donc la droite (d₂) n'est pas parallèle au plan 𝒫. Par conséquent, la droite et le plan sont sécants.

• Méthode 2 (petit calcul) : Si la droite et le plan ne sont pas sécants alors la droite est parallèle à ce plan. Ainsi, un vecteur normal au plan est orthogonal à un vecteur directeur de la droite.
Or→n.u₂→= -2×0 + 1×(-1) + 5×1 = -1 + 5 = 4 ≠ 0. Par conséquent, la droite n'est pas parallèle au plan. La droite et le plan sont sécants.

• Méthode 3 (autre calcul) : Si la droite et le plan ne sont pas sécants alors la droite est parallèle à ce plan. Ainsi, un vecteur directeur de la droite peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires du plan.
On cherche alors s'il existe un couple (α ; β) tel que→u₂ = α×u₁→+ β×w→. On constate que le système obtenu n'a pas de solution.
Les vecteurs ne sont pas coplanaires. La droite n'est pas parallèle au plan. La droite et le plan sont donc sécants.

b. On note F le point d'intersection de la droite (d₂) et du plan 𝒫.
Vérifier que le point F a pour coordonnées (0 ; -5/3 ; -2/3).
Il faut vérifier que F ∈ (d₂) et F ∈ 𝒫...
• L'abscisse du point F est bien nulle. On cherche alors s'il existe un réel t tel que -5/3 = 1 + t et -2/3 = 2 + t.
Soit t = -1 -5/3 = -8/3 et t = -2 - 2/3 = -8/3. Les deux valeurs sont identiques, donc le point F appartient bien à la droite (d₂).
• On -2×x_F + 1×y_F + 5×z_F + 5 = -2×0 + 1×(-5/3) + 5×(-2/3) + 5 = - 5/3 - 10/3 + 5 = -5 + 5 = 0. Le point F appartient bien au plan 𝒫.
Le point F est le point d'intersection de la droite et du plan.

Soit (δ) la droite passant par F et de vecteur directeur→w.
On admet que les droites (δ) et (d₁) sont sécantes en un point E de coordonnées (-2/3 ; -4/3 ; -1).

5. a. Justifier que la distance EF est la distance entre les droites (d₁) et (d₂).
Il faut vérifier que le vecteur→EF est orthogonal aux deux vecteurs→u₁ et→u₂.
Les coordonnées du vecteur sont→EF(2/3 ; -1/3 ; 1/3)
De plus,→EF.u₁→= (2/3)×1 + (-1/3)×2 + (1/3)×0 = 2/3 - 2/3 = 0 et →EF.u₂→= (2/3)×0 + (-1/3)×1 + (1/3)×1 = -1/3 + 1/3 = 0.
Par conséquent, droite (EF) est orthogonale aux deux droites (d₁) et (d₂) et la distance EF est bien la distance entre ces droites.

b. Calculer la distance entre les droites (d₁) et (d₂).
On calcule la distance EF : EF² = (-2/3)² + (-1/3)² + (1/3)² = (4 + 1 + 1)/9. d'où EF = √6/3.