Définition de la fonction logarithme népérien.
La fonction exponentielle est definie et strictement croissante sur R. De plus, pout tout réel x, ex > 0.
On peut donc définie sa fonction réciproque qui a tout x strictement positif associe le réel t tel que et = x.
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien. Elle est notée ln.
Ainsi, ln(x) est l'unique réel t, tel que et = x.
Courbe représentative
La courbe représentative de la fonction logarithme népérien s'obtient à partir de celle de la fonction exponentiel par symétrie axiale par rapport à la droite y = x.
Propriétés.
Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ et pour tout y ∈ R, ey = x ⇔ y = ln(x)
On sait que e0 = 1 et e = e1 donc ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
La fonction ln est définie et strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Ainsi, pour tous rééls x > 0 et y > 0: ln(x) = ln(y) ⇔ x = y et ln(x) > ln(y) ⇔ x > y
Si x > 1 alors ln(x) > 0 et Si 0 < x < 1 alors ln(x) < 0
Autres propriétes.
Des propriétés similaires à celles vues pour la fonction exponentielle existent :
| ln(x×y) = ln(x) + ln(y) ; | ln(1/x) = -ln(x) ; | ln(x/y) = ln(x) - ln(y) ; | ln(xn) = n×ln(x) |
| Remarque : √x = x1/2 donc ln(√x) = | 1 2 |
ln(x) |
Dérivée de la fonction logarithme népérien.
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout x > 0 ln'(x) = 1/x.
Pour le démontrer on étudie la dérivée de la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = eln(x).
En effet, d'une part f(x) = eln(x) = x et f '(x) = 1.
D'autre part, en considérant la composée f = u ° v et f ' = v' × u' ° v .
Avec u(x) = ex et v(x) = ln(x) donc u'(x) = ex et v'(x) = ln'(x), on obtient f '(x) = ln'(x) × eln(x) = ln'(x) × x.
Par conséquent, pour tout x ∈sur ]0 ; +∞[ , ln'(x) × x = 1 soit ln'(x) = 1/x
Dérivée de ln(u(x)) où u est une fonction dérivable strictement positive
Si la fonction u est dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction ln(u) est dérivable sur I et : (ln(u))' = u'/u
Logarithme népérien vs exponentielle.
Les deux fonctions sont strictement croissantes sur leur domaine de définition, mais l'une est convexe et l'autre concave.
La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. Etant donné qu'elle est strictement positive sur ℝ, elle est convexe sur ℝ.
La dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse (1/x). Sa dérivée seconde est donc -1/x2.
Cette dernière fonction étant strictement négative sur ℝ+*, la fonction logarithme népérien est concave sur ℝ+*.
Par conséquent, la "croissance" de la fonction exponentielle est de plus en plus rapide,
tandis que celle de la fonction logarithme népérien est de plus en plus lente.