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Limites

lim ln(x) = +∞   lim ln(x) = −∞ (comme x > 0, il s'agit en fait de 0+)
x → +∞     x → 0  

Par croissances comparées on obtient les limites suivantes :
lim ln(x)
x		   = 0       et       lim  x.ln(x) = 0       Puis pour tout entier n positif,   lim  ln(x)
xn		   = 0      et       lim  xn.ln(x) = 0.
x → +∞   x → 0  x → +∞   x → 0  

Remarque : Pour se souvenir de ces limites on peut dire que les puissances de x l'emportent sur le logarithme.

Des démonstrations sont possibles, en voici une basée sur l'étude des variations de la fonction f(x) = 2√x - ln(x) définie sur ]0 ; +∞[.
La dérivée est f '(x) =  1
√x		  −  1
x		  =  √x − 1
x		   Par conséquent, f '(x) = 0 pour x = 1 et f '(x) ≥ 0 pour x ≥ 1 car x > 0.  
  0   1   +∞       La fonction f admet un minimum strictement positif
signe de f'(x)   - 0 +         donc pour tout x > 0 ; f(x) > 0
variation de f(x)   ↘ 1 ↗         C'est-à -dire 2√x - ln(x) > 0, soit encore 2√x > ln(x) ou > ln(x) < 2√x

De plus, pour tout x ≥ 1, ln(x) ≥ 0. On obtient ainsi l'encadrement suivant :
0 ≤   ln(x) <   2√x,   d'où     0 ≤   ln(x)
x		   <   2
√x		    Or    lim
x → +∞		   2
√x		  = 0 (limite fonction composée...)
Par conséquent, d'après le théorème des gendarmes :  lim
x → +∞		 ln(x)
x		  =  0  (... en fait 0+)

En posant 𝒳 =  1
x		    On peut écrire    ln(x)
x		  = 𝒳×ln( 1
𝒳		 )  = −𝒳×ln(𝒳)    Or quand x → 0 (et x > 0), 𝒳 → +∞
Par conséquent,  lim
𝒳 → +∞		 𝒳.ln(𝒳)  =  lim
x → 0		 −ln(x)
x		  =  0  (...ici c'est 0−)

Pour généraliser aux autres puissance de x, on pose 𝒳 = xn avec n > 1, ainsi x = 𝒳1/n.
xn.ln(x) = 𝒳.ln(𝒳1/n) = (1/n)𝒳.ln(𝒳)

Exercice (d'après Métrople septembre 2023) :
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par :       f(x) = (2 − ln(x))×ln(x),
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[. On note 𝒞 sa courbe représentative.

1. a. Calculer la limite de la fonction f en +∞.
b. Calculer   lim
x → 0		  f(x) . Interpréter graphiquement ce résultat.
3. Montrer que la courbe 𝒞 coupe l'axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.
4. a. Montrer que pour tout réel x appartenant à ]0 ; +∞[, f '(x) =  2(1 − ln(x))
x		 .
b. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[.
5. On note f " la dérivée seconde de f et on admet que pour tout réel x appartenant à ]0 ; +∞[, f "(x) =  2(ln(x) − 2)
x2		 .
Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe et préciser les coordonnées du point d'inflexion de la courbe 𝒞.