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Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

• Une expérience aléatoire qui conduit à deux issues nommées succés et échec est appelée épreuve de Bernoulli.
La variable aléatoire X associée prend la valeur 1 dans le cas du succès avec une probabilité égale à p et la valeur 0 en cas d'échec avec une probabilité égale à 1-p.
La loi de probabilité est donnée ci-contre.
On l'appelle loi de Bernoulli de paramètre p.
xi 0 1
P(X=xi) 1-p p
Ainsi, l'espérance de la variable X est E(X) = 0×(1-p) +1×p = p.
La variance V(X) = E(X2) - (E(X))2 = 02×(1-p) +12×p - p2 = p - p2 = p(1-p)
L'écart type σ(X) = √V(X) =√p(1-p)

• Une succession de n épreuves de Bernoulli de paramétre p, identiques et indépendantes forme un schéma de Bernoulli de paramétres n et p.

• Si on considère une variable aléatoire qui à chaque issue d'un schéma de Bernoulli de paramétres n et p associe le nombre de succés alors la loi de probabilité de cette variable est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On la note ℬ(n , p).

Si k est un entier naturel tel que 0 ≤ k ≤ n et si X suit une loi binomiale ℬ(n , p, alors la probabilité que la variable aléatoire X soit égale à k est :

p(X = k) = ( n
k		 )×pk×(1-p)n-k. ( n
k		 ) étant le coefficient binomial. On note parfois q = 1-p.

L'arbre qui modélise un schéma de Bernoulli à n épreuves contenant k succés de probabilité p et donc n-k échecs de probabilité 1-p.
Déterminer le nombre de chemins contenant k succés revient à disposer k éléments parmi n emplacements. C'est-à-dire ( n
k		 ).
La probabilité totale de l'évenement "X = k" est la somme des probabilité de tous ces chemins dont la valeur est le produit pk×(1-p)n-k. D'où l'expression ci-dessus.

Pour k = 0, on a p(X = 0) = ( n
0		 )×p0×(1-p)n-0 = (1-p)n = qn . Pour k = n, p(X = n) = ( n
n		 )×pn×(1-p)n-n = pn
Ces expressions peuvent être utilisiées pour déterminer la taille n d'un échantillon sachant que p(X = 0) ou p(X = n) est donnée.

On peut démontrer que si la variable X suit une loi binomiale ℬ(n , p) alors :
L'espérance de cette variable est E(X) = n×p.
La variance V(X) = n×p×(1-p)
L'écart type σ(X) = √np(1-p)

Le plus souvent les exercices se font en partie avec la calculatrice. On peut regreter un manque d'harmonisation des différentes marques.

– La Numworks est plutôt explicite. En passant par le catalogue on arrive à :
binompdf(m,n,p) p(X=m) où X suit B(n,p) et binomcdf(m,n,p) p(X≤m) où X suit B(n,p)...
En passant par "Probabilités" les divers calculs sont assez rapidement obtenus. On peut entrer une suite ou une fonction avec les fonctions précédentes. Il suffit de remplacer m par la variable n ou x. Attention aux bornes de début et de fin ainsi qu'à la valeur de l'increment...
La fonction invbinom(a,n,p) m où p(X≥m)=a et X suit B(n,p) permet de déterminer m tel p(X≥m) = a avec a ∈ [0;1].

– Avec les TI on passe par distrib (touches : 2nde + var). Avec la TI-83, on peut choisir nbreEssais:(donner n), p:(donner p) et valeur de x:(donner k). Selon ce que l'on veut calculer on arrive à : binomFdp(n,p,k) pour p(X=k) ou binomFRép(n,p,k) pour p(X≤k)
Avec la TI-82 on arrive à binompdf ou binomcdf. Il faut alors donner les paramétres dans l'ordre (n,p,k).
L'utilisation de ces fonctions est possible pour entrer une suite ou une fonction.
La fonction invBinom(a,n,p) permet de déterminer m tel p(X≥m) = a avec a ∈ [0;1].

– Les Casio proposent ces fonctions sous le nom de BinominalPD ou BinomialPD pour calculer p(X=k) et BinominalCD ou BinomialCD pour p(X≤k) avec les paramétres (k, n, p). L'utilisation de ces fonctions pour une suite ou une fonction n'est pas possible pour certains modèles.
La Casio GRAPH 90+E propose un menu "Probabilités" équivalent à celui de la Numworks.
La fonction InvBinomialCD(a,n,p) ou InvBinominalCD(a,n,p) selon le modèle permet de déterminer m tel p(X≥m) = a avec a ∈ [0;1]. Un avertissement est parfois affiché !

On peut utiler ces fonctions quand on veut déterminer un intervalle d'amplitude minimale tel que p(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,9.
Il faut savoir que p(a ≤ X ≤ b) = p(X ≤ b) - p(X < a). De plus, si p(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,9 alors p(X < a) + p(X > b) = 1 - 0,9 = 0,1.
On peut donc estimer ces deux dernières probabilités à environ 0,05 chacune. Avec un tableau de valeurs donnant p(X ≤ k) en fonction de k,
on cherchera donc la plus petite valeur telle que p(X ≤ k) > 0,05 qui sera a et la plus petite valeur telle que p(X ≤ k) ≥ 0,95 qui donnera b.

On n'est pas obligé de faire le tableau, il suffit d'utlise le "mode p(X ≤ k) = c " en remplaçant c par 0,05 puis par 0,95.
Généralement, la calculatrice donne une valeur de k et une valeur de c proche des valeurs données et recalcule p(X ≤ k).
On vérifie ensuite que l'on a bien p(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,9 avec les valeurs trouvées.

Pour trouver un intervalle d'amplitude minimale tel que p(a ≤ X ≤ b) ≥ 0,95 (ou 0,99).
On utilise la même technique avec p(X ≤ a) > 0,025 (ou 0,005) et p(X ≤ b) ≥ 0,975 (ou 0,995).

Test 1 : On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n = 56 et p = 0,871.

Un tableau donnant les valeurs de p(X ≤ k) avec k ∈ [0 ; 56] conduit à p(X ≤ 44) ≃ 0,051 et p(X ≤ 53) ≃ 0,981.
On en déduit alors que p(44 ≤ X ≤ 53) ≥ 0,9. En fait, p(44 ≤ X ≤ 53) ≃ 0,93.

Un tableau donnant les valeurs de p(X = k) avec k ∈ [0 ; 56] permet de déterminer l'intervalle pour lequel p(X = k) ≥ 0,05.
En effet, on a p(X = 45) ≃ 0,049, p(X = 46) ≃ 0,0791 et p(X = 52) ≃ 0,0773, p(X = 53) ≃ 0,0394.
Soit p(X = k) ≥ 0,05 pour k ∈ [46 ; 52].