Exemple 1 (d'après Bac 2024) : Dans la revue Lancet PublicHealth, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, 5,7% des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020. On note I l'évènement : " l'adulte a déjà été infecté par la COVID 19 " Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ?

D'après le texte, 5,7% des adultes français avaient déjà été infectés. Par conséquent, la probabilité de l'évènement I est P(I) = 0,057.

2. On prélève un échantillon de 100 personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
a. Justifiez que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

Tout ce passe comme si on répétait 100 fois une même expérience de manière indépendante. Cette expérience à deux issue, dont le succés a une probabilité de 0,057. La variable X suit donc une loi binomial de paramétres n = 100 et p = 0,057.

b. Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

L'espérance de cette varaible est E(X) = n×p = 100×0,057 = 5,7. Cela signifie qu'en moyenne sur 1000 personnes testées, 57 sont déjà infectées.

c. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon?
On donnera une valeur approchée à 10^-4 près du résultat.

On cherche à déterminer p(X = 0) = (

100 0

)×0,0570×(1-0,057)100-0 = 1×1×(0,943)100. Soit p(X = 0) ≈ 0,0028

(valeur approchée à 10-4 près).

d. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 2 personnes infectées dans l'échantillon?
On donnera une valeur approchée à 10^-4 près du résultat.

La question revient à déterminer p(X ≥ 2) = 1 - p(X ≥ 2) = 1 - p(X < 2) = 1 - p(X ≤ 1) = 1 - p(X = 0) - p(X = 1)

p(X = 1) = (

100 1

)×0,0571×(1-0,057)100-1 = 100×0,057×(0,943)9 ≈ 0,0171.

D'où p(X ≥ 2) ≈ 0,9801.

e. Déterminer le plus petit entier n tel que P(X ≤ n) > 0,9.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Remarque : ici le nom de l'entier n est très mal choisit!!
Avec la calculatrice on arrive à n = 9. En effet, P(X ≤ 8) = 0,8829 et P(X ≤ 9) = 0,9408.
Cela peut être interpréter par : La probabilité qu'au plus 9 adultes soient déjà infectés sur un échantillon 100 personnes est supérieure à 90%.

Exemple 2 (d'après Bac 2024) : On choisit n véhicules particuliers immatriculés en France en 2022, où n ∈ ℕ*.
On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65. On assimile le choix de ces n véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l'expression en fonction de n de la probabilité p_n que tous ces véhicules soient d'occasion.
D'après l'énonce, la variable aléatoire X qui compte le nombre de véhicules neufs suit une loi binomiale ℬ(n , 0,65).
Par conséquent, p_n = p(X = 0) = (1 - 0.65)ⁿ = 0,35ⁿ

2. On note q_n la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf.
En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de n telle que q_n > 0,9999.

On peut écrire qn = 1 - pn. Ainsi qn > 0,9999

⇔

1 - pn > 0,9999

⇔

1 - 0,35n > 0,9999

⇔

0,35n < 1 - 0,9999

 ⇔ n×ln(0,35) < ln(0,0001) car la fonction logarithme Népérien est strictement croissant sur ]0 ; +∞[ et ln(a^b)= b ln(a).
 ⇔ n > ln(0,0001)/×ln(0,35) car 0,35 < 1 et ln(0,35) < 0. Or ln(0,0001)/×ln(0,35) ≈ 8,77.
Par conséquent, on cherche un entier naturel tel que n > 8.77. On a donc n = 9.