La plupart des définitions et des propriétés s'écrivent de la même manière dans le plan ou dans l'espace...

Définition

Si on considère deux vecteurs non nuls→u et→v, le produit scalaire de→u par→v est le nombre réel noté→u.v→(on dit→u scalaire v→)
défini par→u.v→=→∥u∥ × ∥v∥→× cos(u→;→v) où→∥u∥ et ∥v∥→sont les normes des vecteurs→u et→v.
Dans le cas où→v =→u, on a→u.u→=→∥u∥².
On note ce nombre→u² et on l'appelle carré scalaire de→u.

Si on considère trois points distincts A, B et C tels que→AB =→u et→AC =→v on aura :
→AB.AC→= AB × AC × cos(AB→;→AC) soit encore →AB.AC→= AB × AC × cos(BAC)^

Si le point H désigne le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), on obtient l'expression :
→AB.AC→=―AB × AH―où―AB et AH―sont les mesures algébriques.

Si les vecteurs→AB et→AH sont dans le même sens alors : →AB.AC→= AB × AH

Si les vecteurs→AB et→AH sont de sens opposés alors : →AB.AC→= - AB × AH

Propriétés

Soient→u,→v et→w trois vecteurs non nuls. Soient k un réel non nul.

→u.v→=→v.u→	Le produit scalaire est symétrique
→u.( kv→) = k ×→u.v→	Le produit scalaire est linéaire
→u.(v→+→w) = →u.v→+→u.w→
( ku→). v→ = = k ×→u.v→	On dit également bilinéaire car
(u→+→v). w→= →u.w→+→v.w→	"linéaire à droite" et "linéaire à gauche"

Autres expressions

Si on considère deux vecteurs non nuls→u et→v alors on peut écrire les égalités remarquables suivantes :
(u→+→v)² = →u² + 2→u.v→+→v²
(u→-→v)² = →u² - 2→u.v→+→v²
(u→+→v).(u→-→v) = →u² -→v²

Ainsi on en déduit les expressions du produit scalaire (formules de polarisation) :

→u.v→=

1 2

(∥u→+→v∥2 -→∥u∥2 -→∥v∥2)

et →u.v→=

1 2

(→∥u∥2 +→∥v∥2 - ∥u→-→v∥2)

Si on considère trois points distincts A, B et C tels que→AB =→u et→AC =→v
alors la seconde expression devient :

→AB.AC→=

1 2

(AB2 + AC2 - CB2)

=

1 2

(AB2 + AC2 - BC2)  (u→-→v = AB→-→AC = AB→+→CA =→CB)

Si on a→AB =→u et→CA = →v, alors la première expression devient :

→AB.CA→=

1 2

(CB2 - AB2 - CA2)

=

1 2

(BC2 - AB2 - AC2)  (u→+→v = AB→+→CA =→CB)

En ajoutant membre à membre les deux expressions de→u.v→on obtient :

2→u.v→=

1 2

(∥u→+→v∥2 - ∥u→-→v∥2)

Soit →u.v→=

1 4

(∥u→+→v∥2 - ∥u→-→v∥2)

En retranchant membre à membre les deux expressions on arrive à :

∥u→+→v∥² + ∥u→-→v∥² = 2→∥u∥² + 2→∥v∥²