Taux d'accroissement
On peut définir le taux d'accroissment d'une fonction entre deux points a et b comme le rapport suivant :
Si on pose h = b - a alors b = a + h et l'expression du taux d'accroissement en fonction de h au voisinage du point a devient :
Si lorsque h devient infiniment petit (h tend vers 0) le taux d'accroissement tend vers une valeur limite réelle l
alors on dit que la fonction f est dérivable en a est que le nombre dérivé en ce point, noté f'(a) est l. On écrira
Exemple 1 :
Montrer que la fonction définie par f(x) = x2 est dérivable en tout point a et donner le nombre dérivé en ce point.
| τ(h) = |
f(a + h) - f(a)
h |
= |
(a + h)2 - a2
h |
= |
a2 + 2ah + h2 - a2
h |
= |
2ah + h2
h |
= |
2a + h |
lim
h→0 |
τ(h) = |
lim
h→0 |
(2a + h) = 2a |
La fonction f est dérivable en tout point a et le nombre dérivé en ce point est f'(a) = 2a.
|
|
Exemple 2 :
| Soit la fonction f définie sur R* par f(x) = |
1
x2 |
| On pose t(h) = |
f(1 + h) - f(1)
h |
| Montrer que t(h) = |
-2 - h
(1 + h)2
|
En déduire que f est dérivable au point 1 et préciser son nombre dérivé.
t(h) = |
1
(1 + h)2 |
- |
1
12 |
| h |
| t(h) = |
1
h |
× |
1 - (1 + h)2
(1 + h)2 |
= |
1
h |
× |
1 - 1 -2h - h2
(1 + h)2 |
= |
1
h |
× |
-2h - h2
(1 + h)2 |
= |
1
h |
× |
h(-2 - h)
(1 + h)2 |
= |
-2 - h
(1 + h)2 |
Lorsque h tend vers 0 :
le numérateur (-2 - h) tend vers -2 et le dénominateur (1 + h)2 tend vers 1, on a donc
lim
h→0 |
t(h) = |
lim
h→0 |
f(1 + h) - f(1)
h |
= -2 |
La fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé en vaut -2. Soit f'(1) = -2.
Exemple 3 : La fonction racine carrée est-elle dérivable en 0 ?
| Pour h > 0 on arrive à t(h) = |
√h
h |
= |
1
√h |
et |
lim
h→0 |
1
√h |
= +∞ |
Cette limite n'est pas un nombre réel donc la fonction √x n'est pas dérivable en 0.
|