Introduction

La tangente à une courbe en un point A peut être vu comme la position limite de la droite (AM) quand le point M situé sur la courbe tend vers A.

Si on prend A d'abscisse a et M d'abscisse a + h, alors les coordonnées de ces points sont
A(a ; f(a)) et M( a + h ; f((a + h)) et le coefficient directeur α de la droite (AM)

α =

yM - yA xM - xA

=

f(a + h) - f(a) h

=

f(a + h) - f(a) h

L'équation réduite de la droite (AM) est de la forme y = αx + β
Or A ∈ (AM) donc f(a) = α×a + β d'où β = f(a) - α×a
Ainsi on a : y = αx + f(a) - αa soit encore y = α(x - a) + f(a)

Lorsque M tend vers A, h tend vers 0 et le coefficient directeur de la droite (AM) qui n'est autre que le taux d'accroissement τ(h) vu précédemment tend vers f'(a).

Il en résulte que l'équation réduite de la tangente à une courbe représentative d'une fonction f dérivable en un point a est de la forme :

y = f'(a) (x - a) + f(a)

Exercice : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x³ et C sa courbe représentative.
1. a. Montrer que (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
   b. En déduire l'expression de f(1 + h) en fonction de h.
2. a. Montrer que f est dérivable en 1 et préciser son nombre dérivé en ce point.
   b. En déduire l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 1.
3. On pose g(x) = f(x) - (3x - 2)
   a. Donner l'expression de g(x) puis calculer g(1).
   b. Trouver les réels a, b tels que g(x) = (ax + b)(x - 1)²
   c. En déduire le signe de g(x).
   d. Que peut-on en conclure quand à la position de T par rapport à C ?

Eléments de réponse...

On pose t(h) =

f(1 + h) - f(1) h

=

3 + 3h + h2 et

lim h→0

t(h) = 3

La fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé est f'(1) = 3.
l'équation réduite de la tangente T est : y = 3(x - 1) + 1 soit y = 3x - 2.
g(x) = x³ - 3x + 2 ; g(1) = 1³ - 3×1 + 2 = 0.
g(x) = (ax + b)(x - 1)² = (ax + b)(x² - 2x + 1) = ax³ + (b - 2a)x² + (a - 2b)x + b.
On trouve a = 1 et b = 2 ; g(x) = 0 pour x = 1 et x = -2.

signe de	-∞		-2		1		+∞
x + 2		-	0	+	¦	+
(x - 1)2		+	¦	+	0	+
(x + 2)(x - 1)2		-	0	+	0	+

g(x) > 0 ⇔ f(x) > (3x - 2) ; La courbe C est audessus de la tangente T.
g(x) < 0 ⇔ f(x) < (3x - 2) ; La tangente T est audessus de la courbe C.
g(x) = 0 ⇔ f(x) = (3x - 2) ; La tangente T coupe la courbe C en -2 et 1.