Dérivée d'une somme

Si u et v designent deux fonctions dérivables sur un intervalle D
alors f = u + v est dérivable sur D et f' = u' + v'.

Dérivée d'un produit

Si u et v designent deux fonctions dérivables sur un intervalle D
alors f = u×v est dérivable sur D et f' = u'×v + u×v'.

f(a+h) - f(a) = (u×v)(a+h) - (u×v)(a) = u(a+h)×v(a+h) - u(a)×v(a)
              = u(a+h)×v(a+h) - u(a)×v(a) + u(a)×v(a+h) - u(a)×v(a+h)
              = u(a+h)×v(a+h) - u(a)×v(a+h) + u(a)×v(a+h)- u(a)×v(a) 
              = [u(a+h) - u(a)]×v(a+h) + u(a)×[v(a+h)- v(a)]
Or u et v sont deux fonctions dérivables donc 


lim
h→0
 [u(a+h) - u(a)]
h
 = u'(a) ; 
lim
h→0
 [v(a+h) - v(a)]
h
 = v'(a) et  
lim
h→0
 v(a+h) = v(a)



Par conséquent, 
lim
h→0
 f(a+h) - f(a)
h
 = f'(a) = u'(a)×v(a) + u(a)×v'(a) 


Exemple : Soit la fonction f(x) = (3x - 2)(x2 + 2x - 3).
Calculer de deux manières différentes la dérivée de f.
On développe, réduit et ordonne : 
f(x) = 3x3 + 6x2 - 9x - 2x2 - 4x + 6 = 3x3 + 4x2 - 13x + 6 
f'(x) = 9x2 + 8x - 13.
On pose u(x) = 3x - 2 et v(x) = x2 + 2x - 3 d'où u'(x) = 3 et v(x) = 2x + 2
f = u×v donc f' = u'×v + u×v' par conséquent :
f'(x) = 3(x2 + 2x - 3) + (3x - 2)(2x + 2) =  3x2 + 6x - 9 +  6x2 + 2x - 4
f'(x) = 9x2 + 8x - 13.

Dérivée d'un quotient

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle D et si v(x)≠ 0 pour tout x ∈ D

alors f =

u v

est dérivable sur D et f' =

u'v - uv' v2

f(a+h) - f(a) =	u v	(a+h) -	u v	(a) =	u(a+h) v(a+h)	-	u(a) v(a)	=	u(a+h)×v(a) - u(a)×v(a+h) v(a+h)×v(a)
=	u(a+h)×v(a) - u(a)×v(a+h) + u(a)×v(a) - u(a)×v(a)        v(a+h)×v(a)
=	u(a+h)×v(a) - u(a)×v(a) + u(a)×v(a) - u(a)×v(a+h)        v(a+h)×v(a)
=	[u(a+h) - u(a)]×v(a) - u(a)×[v(a+h) - v(a)]        v(a+h)×v(a)

On fait intervenir les limites utilisées pour la démonstration de la dérivé de u×v.

Il en résulte que

lim h→0

f(a+h) - f(a) h

= f'(a) =

u'(a)×v(a) - u(a)×v'(a) v2(a)

Exemple : Soit f(x) =

(x - 2)  (x2 + 1)

Montrer que la fonction f est dérivable en précisant sur quel domaine. Calculer f'(x).
On sait que le quotient de 2 fonctions dérivables est une fonction dérivable pour tout réel des intervalles sur lequel le dénominateur n'est pas nul.
Or x² + 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ, donc f est dérivable sur ℝ.

On a f =

u v

ainsi, f' =

u'v - uv' v2

On pose u(x) = x - 2 et v(x) = x² + 1. On a alors u'(x) = 1 et v'(x) = 2x. D'où

f'(x) =

1×(x2 + 1) - (x - 2)(2x) (x2 + 1)2

=

x2 + 1 - 2x2 + 4x (x2 + 1)2

=

-x2 + 4x + 1 (x2 + 1)2