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Autres dérivées utiles

Dérivée de u2

On peut facilement faire la démontrastion. On peut également utiliser le résultat obtenu pour la dérivée d'un produit. On a vu que si f = u×v alors f' = u'×v + u×v' avec v = u.
on obtient : f = u2 et f' = 2u'×u.

Dérivée de 1/u

On peut utiliser l'expression de la dérivée d'un quotient avec u(x) = 1 et u'(x) = 0.
En changeant v en u, on arrive a : f =  1
u		  et f' =  - u'
u2

Dérivée de √u

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle D et telle que u(x) ≥ 0 pour tout x ∈ D.
La fonction √u est définie sur D et sera dérivable pour tout x ∈ D sauf pour ceux tels que u(x) = 0.
√u(a+h) - √u(a) =  (√u(a+h) - √u(a))×(√u(a+h) + √u(a))
√u(a+h) + √u(a)		 =    u(a+h) - u(a)  
√u(a+h) + √u(a)

Or  lim
h→0		  u(a+h) - u(a)
h		  = u'(a) ; et   lim
h→0		  √u(a+h) = √u(a)
Par conséquent,  lim
h→0		  √u(a+h) - √u(a)
h		  = f'(a) =   u'(a) 
2√u(a)
On résume ceci par si f = √u  alors f' =   u' 
2√u
  Exemple 1 : Soit la fonction f(x) = √1 - x2. Calculer f'(x).
On pose u(x) = 1 - x2 d'où u'(x) = - 2x
u(x) = 0 pour x = 1 et x = -1. u(x) > 0 entre les racines car le coefficient de x2 est négatif.
L'ensemble de définition de f est Df = [-1 ; 1] et f est dérivable sur ]-1 ; 1[
f'(x) =    -2x  
2√1 - x2
Exemple 2 : Soit la fonction f(x) = 5(x3 - 2x - 1)2. Calculer f'(x).
On pose u(x) = x3 - 2x - 1 donc u'(x) = 3x2 - 2
La fonction f est définie et dérivable sur ℝ ; f = 5×u2 et f' = 10×u'×u.
f'(x) = 10×(3x2 - 2)(x3 - 2x - 1)
Exemple 3 : Soit la fonction f(x) =  1
2		 x2 -    1  
2x -1
Calculer f'(x) et donner son expression sous forne d'un quotient unique.
La fonction f est définie pour tout x tel que 2x - 1 ≠ 0. Df = ]-∞ ; 1/2[ ∪ ]1/2 ; +∞[.
f est dérivable sur chacun des intervalles qui forme son domaine de définition.
On a f = u -  1
v		   Donc f' = u' +  v'
v2
D'où f'(x) = x +       2    
(2x - 1)2		  =  x(4x2 - 4x + 1) + 2
(2x - 1)2		  =  4x3 - 4x2 + x + 2
(2x - 1)2