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Recherche d'un volume maximal
Problème 1 : Cylindre inscrit dans un cône.
Soit une cône de sommet S et de hauteur OS = H dont la base est un disque de rayon OA = R.
Un plan parallèle à la base coupe la hauteur du cône en O'. La section obtenue est un disque de rayon O'A' = r.
On pose OO' = h et on note V(h) le volume du cylindre de hauteur h et de rayon r.
| 1. Montrer que r = R× |
(H - h)
H |
| 2. En déduire que V(h) = |
Π R2
H2 |
×h(H - h)2 |
3. Calculer la dérivée V'(h) et étudier les variations de V(h) sur [0 ; H].
4. Pour quelle valeur de h le volume est-il maximum ?
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1. Le plan étant parallèle à la base du cylindre, les droites (OA) et (O'A') sont parallèles.
De plus, les droites (OO') et (AA') sont sécantes en S.
| D'après le théorème de Thalès on peut écrire : |
OA
OS |
= |
OA'
O'S |
Or les points O, O' et S sont alignés donc O'S = OS - OO' = H - h.
| Par conséquent on a : |
R
H |
= |
r
H - h |
d'où r = R× |
(H - h)
H |
2. Le volume d'un cylindre de rayon r et de hateur h est Πr2×h, donc
| V(h) = Π(R× |
(H - h)
H |
)2×h |
soit V(h) = Π R2× |
(H - h)2
H2 |
×h = |
Π R2
H2 |
×h(H - h)2 |
|
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| 3. R, H et Π sont des constantes. On pose f(h) = |
Π R2
H2 |
×h et g(h) = (H - h)2 |
| On a alors f'(h) = |
Π R2
H2 |
et g'(h) = -2(H - h) |
Par suite V(h) = f(h)×g(h) et V'(h) = f'(h)×g(h) + f(h)×g'(h)
| Soit V'(h) = |
Π R2
H2 |
×(H - h)2 - 2×h× |
Π R2
H2 |
×(H - h) = |
Π R2
H2 |
×(H - h)(H - 3h) |
V'(h) = 0 ⇔ h = H ou h = H/3 et V'(h) < 0 pour h ∈ ]H/3 ; H[
| |
0 |
|
H/3 |
|
H |
| signe de V'(h) |
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+ |
0 |
- |
0 |
variation
de V(h) |
|
|
V(H/3) |
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| |
↗ |
|
↘ |
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4. D'après le tableau des variations de V(h) le volume du cône est maximal pour h = H/3.
| V(H/3) = |
Π.R2
H2 |
× |
H
3 |
× |
(H - |
H
3 |
)2 = |
Π.R2
H2 |
× |
H
3 |
× |
( |
2H
3 |
)2 = |
4Π.R2H
27 |
Remarque: Le problème peut être traité avec comme variable le rayon r.
| On obtient V(r) = |
Π.H
R |
(R - r)×r2 |
qui admet un maximum sur [0 ; R] pour r = 2R/3 |
Problème 1' : On peut chercher le volume minimal du cône dans lequel est inscrit le cylindre.
Les inconnues sont alors R et H. Les caractéritiques du cylindre, r et h étant données.
Les dimensions du cône doivent donc être plus grandes que celles du cylindre : H > h et R > r.
| On étudie les variations du volume du cône, c'est-à-dire |
1
3 |
πR2H en remplaçant R ou H, |
sur les intervalles ]h , +∞[ ou ]r , +∞[
Eléments de réponse : La relation r×H = R×(H - h) est toujours valable.
| On en déduit : R = |
r×H
H - h |
ou H = |
R×h
R - r |
| On obtient V(H)= |
1
3 |
πr2 |
H3
(H - h)2 |
ou V(R)= |
1
3 |
πh |
R3
R - r |
; r et h sont des constantes. |
On etudie alors le signe de V'(H) ou de V'(R)...
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