Etude des variations
Soit u est une fonction définie sur un intervalle D et soient a et b deux réels de cet intervalle.
Si u est une fonction croissante alors "images et antécédents sont rangés dans le même ordre". On a : a < b et u(a) < u(b) ou a > b et u(a) > u(b)
Si u est une fonction décroissante alors "images et antécédents sont rangés dans un ordre inverse". On a : a < b et u(a) > u(b) ou a > b et u(a) < u(b)
L'étude du signe de la différence u(a) - u(b) permet de déterminer le sens de variation de la fonction sur un intervalle donné.
Remarque : Pour deux fonctions u et f, dans des conditions identiques sur a et b ;
. Si les différences u(a) - u(b) et f(a) - f(b) sont de même signe alors les fonctions ont le même sens de variation.
. Si les différences u(a) - u(b) et f(a) - f(b) sont de signe contraire alors les fonctions auront des sens de variation opposés.
Variations des fonctions associées
On considère une fonction f définie par f(x) = u(x) + v(x) avec v(x) = k ∀ x ∈ ℝ et k ∈ ℝ
f(a) - f(b) = u(a) + k - (u(b) + k) = u(a) - u(b)
Le signe de f(a) - f(b) est donc le même que celui de u(a) - u(b).
Par conséquent, les fonctions u et u + k ont même sens de variation.
On considère une fonction f définie par f(x) = λ×u(x) avec λ ∈ ℝ
f(a) - f(b) = λ×u(a) - λ×u(b) = λ×(u(a) - u(b))
. Si λ > 0 alors f(a) - f(b) et u(a) - u(b) sont de même signe.
Les fonctions u et λ×u ont même sens de variation lorsque λ > 0.
. Si λ < 0 alors f(a) - f(b) et u(a) - u(b) sont de signe contraire.
Les fonctions u et λ×u ont des sens de variation contraires lorsque λ < 0.
|
|
On considère une fonction f définie par f(x) = √u(x) avec u(x) ≥ 0
| √u(a) - √u(b) = |
(√u(a) - √u(b))×(√u(a) + √u(b))
√u(a) + √u(b) |
= |
u(a) - u(b)
√u(a) + √u(b) |
La somme √u(a) + √u(b) est positive car la racine carrée d'un nombre est un nombre positif.
Par conséquent le signe de f(a) - f(b) est le même que celui de u(a) - u(b).
Les fonctions u et √u ont même sens de variation.
On considère une fonction f définie sur un intervalle par f(x) = 1/u(x) avec u(x) ≠ 0
| f(a) - f(b) = |
1
u(a) |
- |
1
u(b) |
= |
u(b) - u(a)
u(a)u(b) |
= - |
u(a) - u(b)
u(a)u(b) |
Or u(a) et u(b) sont de même signe car s'ils ne l'étaient pas il existerait une valeur x0 dans l'intervalle [a ; b] telle que u(x0) = 0 ce qui est interdit par définition de la fonction f.
Par conséquent f(a) - f(b) a le même signe que -(u(a) - u(b)). Autrement dit, f(a) - f(b) et u(a) - u(b) sont de signe contraire.
Les fonctions u et 1/u ont des sens de variation opposés.
Exemple : Etudier le sens de variation de la fonction définie par f(x) = √x3 - 6x2 + 9x
On pose u(x) = x3 - 6x2 + 9x et on commence par étudier le signe cette fonction.
u(x) = x3 - 6x2 + 9x = x(x2 - 6x + 9) = x(x2 - 2×3×x + 32) = x(x-3)2
Un carré est toujours positif ou nul donc le signe de u(x) est donné par celui de x.
L'ensemble de définition de la fonction f est Df = [0 ; +∞[.
On calcule la dérivée u'(x) et on en déduit le sens de variation de la fonction u.
u'(x) = 3x2 - 12x + 9 = 3(x2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3) (cf. 1 racine évidente, l'autre racine est 3). u'(x) est négative entre les racines.
On sait que les fonctions u et √u ont même sens de variation, d'où le tableau suivant :
| |
0 |
|
1 |
|
3 |
|
+∞ |
| signe de u'(x) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
Variations
de u(x) |
0 |
↗ |
4 |
↘ |
0 |
↗ |
|
Variations
de f(x) |
0 |
↗ |
2 |
↘ |
0 |
↗ |
|
|