Retour | Index | Suite

Fonctions de référence

Fonction valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre a est un nombre positif ou nul noté |a|.
La fonction valeur absolue |x| est donc définie sur |R et |x| est un nombre positif ou nul.
Ainsi si x > 0 alors |x| = x et si x < 0 alors |x| = -x.

La fonction valeur absolue est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[

Démonstration : Soient a et b deux réels tels que a < b ; (a - b < 0 ou b - a > 0).

Si a et b sont positifs alors |a| = a et |b| = b donc |a| - |b| = a - b.
Comme a - b < 0 la fonction est croissante sur [0 ; +∞[
Si a et b sont négatifs alors |a| = -a et |b| = -b donc |a| - |b| = -a + b = b - a.
Or b - a > 0 donc la fonction est décroissante sur ]-∞ ; 0]

Expression d'une fonction sans barres de valeur absolue

On considère la fonction f définie par f(x) = |3x + 2| - |1 - x|
On cherche le signe de chaque termes. On peut présenter cela dans un tableau.
On a : 3x + 2 = 0 pour x = -2/3 et 1 - x = 0 pour x = 1.
signe de -∞   -2/3   1   +∞
3x + 2   - 0 + ¦ +  
1 - x   + ¦ + 0 -  
expression de     ¦   ¦    
|3x + 2|   -3x - 2 0 3x + 2 5 3x + 2  
|1 - x|   1 - x 5/3 1 - x 0 -1 + x  
 |3x+2| - |1-x|    -2x - 3 -5/3 4x +1 5 2x + 3  
L'expression de la fonction est : f(x) = -2x - 3 pour x ∈ ]-∞ ; -2/3] f(x) = 4x + 1 pour x ∈ [-2/3 ; 1] f(x) = 2x + 3 pour [1 ; +∞[

 

Equations et Inéquations

Résoudre une équation du type | a | = | b | revient à résoudre a = b ou a = -b.

Résoudre une inéquation du type | a | < b équivaut à a < b ou -a < b
c'est à dire a < b ou a > -b soit encore -b < a < b.

Résoudre une inéquation du type | a | > b équivaut à a > b ou -a > b
c'est à dire a > b ou a < -b soit encore a < -b ou a > b

Remarque : | x - a | représente la distance entre a et x.
Résoudre | x -a | < b revient à chercher les valeurs de x telles que
-b < x - a < b c'est à dire telles que a-b < x < a+b

Résoudre | x -a | > b revient à chercher les valeurs de x telles que
x - a < -b ou x - a > b soit encore telles que x < a-b ou x > a+b

Exemple : Résoudre | x + 1 | > 5 et | 2x - 3 | ≤ 1
| x + 1 | > 5 équivaut à x + 1 > 5 ou x + 1 < -5 c'est à dire x > 4 ou x < -6
L'ensemble des solutions de la première inéquation est S = ]-∞ ; -6] &; [4 ; +∞[
| 2x - 3 | ≤ 1 équivaut à -1 ≤ 2x - 3 ≤ 1 soit 1 ≤ x ≤ 2
L'ensemble des solutions de la seconde inéquation est S = [1 ; 2]