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Fonctions de référence

Fonction racine carrée

La racine carrée d'un nombre a positif ou nul est un nombre positif ou nul noté √a dont le carré donne a.
La fonction racine carrée √x est donc définie en tout point tel que x ≥ 0 et √x est un nombre positif ou nul.

La fonction racine carrée une fonction croissante sur [0 ; +∞[

Démonstration : Soient a et b deux nombres positifs tels que a < b.

On considère l'expression √a - √b et son expression conjuguée √a + √b
(√a - √b)(√a + √b)= a - b
On utilse l'identité remarquable (A + B)(A - B) = A2 - B2 et par définition (√a)2 = a et(√b)2 = b

Par conséquent :
√a - √b =  (√a - √b)(√a + √b)
(√a + √b)		  =  (a - b)
(√a + √b)
On sait que √a et √b sont deux nombres postifs donc (√a + √b) > 0
De plus a - b < 0 car a < b
Le dernier membre de l'égalité précédente est négatif
On a donc √a - √b < 0 c'est à dire √a < √b

Les images des réels a et b par cette fonction sont classées dans le même ordre que les antécédents, la fonction racine carrée est donc croissante.

 

Position relative des fonctions x2, x et √x

  • Pour x ∈ ]-∞ ; 0], √x n'est pas défine et on a x ≤ 0 ≤ x2.
  • Sur ]0 ; +∞[, les trois courbes se coupent pour x = 1.
    On distingue alors les deux cas x ∈ ]0 ; 1[ et x ∈ ]1 ; +∞[.
    0 < x < 1 0 < 1 < x  
    0 < x2 < x 0 < x < x2 car x > 0 et multiplier par un nombre positif
    ne change pas le sens des inégalités.
    0 < x < √x 0 < √x < x car x > 0 donc √x2 = x et la fonction racine carrée est
    croissante sur ]0 ; +∞[.
    En conclusion on a : x2 < x < √x pour 0 < x < 1 et √x < x < x2 pour x > 1.

    Applications

    Une équation du type √a = b revient à résoudre l'équation a = b2
    avec les conditions suivantes  a ≥ 0
    b ≥ 0    		 

    Exemple : Résoudre dans |R l'équation √x + 5 = 1 - x
x + 5 ≥ 0 et 1 - x ≥ 0 équivaut à x ≥ -5 et x ≤ 1 c'est à dire -5 ≤ x ≤ 1
Pour tout x ∈ [-5 ; 1] on peut écrire les égalités suivantes :
x + 5 = (1 - x)2 ⇔ x + 5 = 1 -2x + x2 ⇔ x2 -3x - 4 = 0
                 ⇔ (x + 1)(x -4) = 0    car -1 racine évidente
                 ⇔ x = -1 ou x = 4
Or -1 ∈ [-5 ; 1] et 4 ∉ [-5 ; 1]
L'ensemble des solutions de l'équation est donc S = {-1}