Fonction

Fonctions de référence

Fonction carrée

Soit f la fonction carrée définie sur IR par f(x) = x².
La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole dont le sommet est sur l'origine du repère.

f est une fonction décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[

Démonstration : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
f(a) - f(b) = a² - b² = (a + b)(a - b)
Dans tous les cas (a - b) < 0 car a < b.

Si a et b appartiennent à l'intervalle ]-∞ ; 0], a < 0 et b < 0 alors (a + b) < 0.
On en déduit que (a + b)(a - b) > 0 donc a² > b².
La fonction est décroissante sur ]-∞ ; 0].

Si a et b appartiennent à l'intervalle [0 ; +∞[, a > 0 et b > 0 alors (a + b) > 0.
Ainsi (a + b)(a - b) < 0 et par conséquent a² < b².
La fonction est croissante sur [0 ; +∞[.

Fonction inverse

Soit h la fonction inverse définie sur |R* par h(x) = 1/x
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.

h est une fonction décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[

Démonstration : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.

h(a) - h(b) = 1
a - 1
b = b - a
ab

Le produit de deux nombres de même signe est positif et comme a < b, (b - a) > 0.
On peut donc en conclure que sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[

b - a
ab > 0 soit encore 1
a > 1
b

Les images des réels a et b par cette fonction sont classées en sens inverse des antécédents.
La fonction est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[