Mise en forme
Soit un polynôme du second degré p(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0
(si a = 0, le polynôme n'est pas du 2sd degré)
On commence par mettre a en facteur
On considère les termes entre parenthèses comme le début du développement de (A + B)2
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 donc A2 + 2AB = (A + B)2 - B2
On peut faire apparaître le double produit dans le second terme en multipliant et divisant par 2.
| On a alors A = x et B = |
b
2a |
| p(x) = a(x2 + 2 |
b
2a |
x) + c |
| p(x) = a[(x + |
b
2a |
)2 - ( |
b
2a |
)2] + c |
On suprime les crochets et on regroupe les termes indépendants de x
| p(x) = a(x + |
b
2a |
)2 - a |
b2
4a2 |
+ c |
| p(x) = a(x + |
b
2a |
)2 - |
b2
4a |
+ c |
| p(x) = a(x + |
b
2a |
)2 - |
b2 - 4ac
4a |
Le polynôme est alors sous la forme canonique a(x - α)2 + β
| avec α = - |
b
2a |
; β = - |
Δ
4a |
= p(α) et Δ = b2 - 4ac |
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Applications
La courbe représentative d'un polynôme du second degré est une parabole.
La forme canonique fait apparaître les coordonnées du sommet S(α ; β) de cette parabole.
Si a > 0 alors S est un minimum. La parobole est décroissante sur l'intervalle ]-∞ ; α]
et croissante sur l'intervalle [α ; +∞[.
Si a < 0, S est un maximum. La parabole est croissante sur l'intervalle ]-∞ ; α]
et décroissante sur l'intervalle [α ; +∞[.
| a > 0 │ |
-∞ α +∞ |
|
a < 0 │ |
-∞ α +∞ |
variation │
de p(x) │ |
↘ ↗
β |
|
variation │
de p(x) │ |
β
↗ ↘ |
Soit p(x) = a(x - α)2 + β et soient u et v deux réels tels que u < v ou u - v < 0.
p(u) - p(v) = a(u - α)2 + β - a(v - α)2 - β = a[(u - α)2 - (v - α)2]
= a(u - α + v - α)(u - α - v + α) = a(u + v - 2α)(u - v)
Si u et v appartiennent à ]-∞ ; α] on a u < α et v < α d'où u + v < 2α
On a donc u + v - 2α < 0 et u - v < 0 par conséquent (u + v - 2α)(u - v) > 0
Si a > 0 alors p(u) - p(v) > 0 alors la fonction est décroissante sur ]-∞ ; α]
Si a < 0 alors p(u) - p(v) < 0 alors la fonction est croissante sur ]-∞ ; α]
Si u et v appartiennent à [α ; +∞[ on a u > α et v > α d'où u + v > 2α
On a donc u + v - 2α > 0 et u - v < 0 par conséquent (u + v - 2α)(u - v) < 0
Si a > 0 alors p(u) - p(v) < 0 alors la fonction est croissante sur [α ; +∞[
Si a < 0 alors p(u) - p(v) > 0 alors la fonction est décroissante sur [α ; +∞[
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