Etude de la factorisation
A partir de la forme canonique, on met a en facteur
| p(x) = a(x + |
b
2a |
)2 - |
b2 - 4ac
4a |
| p(x) = a[(x + |
b
2a |
)2 - |
b2 - 4ac
4a2 |
] On pose Δ = b2 - 4ac |
| p(x) = a[(x + |
b
2a |
)2 - |
Δ
4a2 |
] |
On cherche alors si selon le signe de Δ une factorisation est possible.
| Les termes (x + |
b
2a |
)2 et |
4a2 sont positifs. |
| Si Δ est négatif, le terme - |
Δ
4a2 |
est strictement positif. |
L'expression entre crochets est donc toujours strictement positive.
La factorisation est alors imposible.
Si Δ est nul, alors p(x) est déjà sous une forme factorisée :
Si Δ est positif, alors on peut écrire Δ = (√Δ)2, et par suite :
| p(x) = a[(x + |
b
2a |
)2 - ( |
√Δ
2a |
)2] |
Ainsi, l'expression entre crochets peut être assimilée à l'identité remarquable A2 - B2 que l'on peut factoriser en (A + B)(A - B).
| p(x) = a(x + |
b
2a |
+ |
√Δ
2a |
)(x + |
b
2a |
- |
√Δ
2a |
) |
= a(x + |
b + √Δ
2a |
)(x + |
b - √Δ
2a |
) |
|
|
Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0
On commence par calculer Δ = b2 - 4ac. Δ est appelé discriminant de l'équation.
Si Δ < 0, la factorisation n'est pas possible.
L'équation n'a pas de racine réelle.
Si Δ = 0, la factorisation est possible. p(x) = a (x - x0)2
L'équation admet une racine double :
Si Δ > 0, la factorisation est possible.
| p(x) = a(x + |
b + √Δ
2a |
)(x + |
b - √Δ
2a |
) |
= a(x - |
-b - √Δ
2a |
)(x - |
-b + √Δ
2a |
) |
= a(x -x1)(x -x2) |
L'équation admet deux racines distinctes :
| |
x1 = |
-b - √Δ
2a |
et x2 = |
-b + √Δ
2a |
Remarques :
Δ = b2 - 4ac, donc si a et c sont de signes contraires alors Δ est positif.
Sans calcul on peut dire que l'équation admet des solutions.
Si c = 0, on peut mettre x en facteur et p(x) = x(ax +b).
Penser aux racines "évidentes" 1 et -1.
Si a + b + c = 0 alors 1 est une racine et p(x) = (x - 1)(ax - c).
Si a - b + c = 0 alors -1 est une racine et p(x) = (x + 1)(ax + c).
|