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Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites arithmétiques

Les suites arithmétiques sont définies avec une relation de récurrence du type  Un+1 = Un + r  où r est un réel (indépendant de n) appelé raison.
Si r = 0, Un+1 = Un, la suite est constante et tous les termes sont égaux au premier.

Pour montrer qu'une suite définie de façon explicite est une suite arithmétique il suffit de montre que la différence Un+1 - Un est un réel.
On peut également modifier l'expression de Un+1 en faisant apparaître Un pour mettre la raison r en évidence.
Dans certains cas, on peut calculer les trois premiers termes (ou trois termes consécutifs) ;
Si Un+2 - Un+1 ≠ Un+1 - Un alors la suite n'est pas arithmétique.

Exemple : Les suites suivantes définies pour tout n ∈ ℕ sont-elles arithmétiques ?
Si oui, donner leur raison.
Un = 3n + 2 ; Vn = n2 + 1 ; Wn = a(n + 2)2 -a (n + 1)2 avec a ∈ ℝ.

  • Un+1 = 3(n + 1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 2 + 3 = Un + 3 ; La suite U est arithmétique de raison r = 3.
  • On a V0 = 02 + 1 = 1 ; V1 = 12 + 1 = 2 et V2 = 22 + 1 = 5.
    V1 - V0 = 1 ≠ V2 - V1 = 3 donc la suite V n'est pas arithmétique.
  • On simplifie l'expresion de Wn ; Wn = a[n2 + 4n + 4 - n2 - 2n - 1] = a(2n + 3) = 2an + 3a.
    Wn+1 - Wn = 2a(n + 1) + 3a - 2an - 3a = 2an + 2a - 2an = 2a .
    La suite W est arithmétique car Wn+1 - Wn est un réel indépendent de n. Sa raison est r = 2a.

    Remarque : Si l'on observe les expressions simplifiées des suites arithmétiques précédentes on constate qu'elles sont du type Un = r×n + U0.

    		•  

    Expression explicite d'un suite arithmétique

    On écrit les n premiers termes d'un suite arithmétique et on fait la somme membre à membre des n égalités obtenues. On constate que les termes U1, U2 jusqu'à Un-1 s'éliminent. Il ne reste plus que dans le premier membre Un et dans le second U0 et une somme de n termes égaux à r.
    L'écriture explicite des suites arithmétique est
     Un = U0 + n×r .

    		U1 = U0 + r
    U2 = U1 + r
    U3 = U2 + r
    ...
    Un-1 = Un-2 + r
    Un = Un-1 + r     		n égalités
    Un = U0 + r + r + r + ... + r + r

    n termes

    Si n et p sont deux entiers on peut écrire : Un = U0 + n×r et Up = U0 + p×r.
    Donc Un - Up = U0 + n×r. - U0 - p×r = (n - p)×r.
    D'où l'expression  Un = Up + (n - p)×r .

    Exemple : Soit U une suite arithmétique telle que U4 = 26 et U10 = 41. Déterminer la raison r et le premier terme U0 de cette suite.

    On peut écrire : U10 = U4 + (10 - 4)×r . Soit 41 = 26 + 6×r  puis 41 - 26 = 6×r 
    D'où r =  15
    6    		  =  5
    2    		   Or on a : U4 = U0 + 4×r , soit 26 = U0 + 4× 5
    2    		  donc U0 = 26 - 10 = 16.
    Vérification avec U10   On a : U10 = U0 + 10×r = 16 + 10× 5
    2    		  = 16 + 25 = 41.
    La suite arithmétique U a pour raison r =  5
    2    		   et pour premier terme U0 = 16.