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Suites géométiques et suites géométriques

Suites géométiques

Les suites géométiques sont définies avec une relation de récurrence du type  Un+1 = q×Un  où q est un réel (ne dépendant pas de n) également appelé raison. (q ≠ 0 sinon tous les termes pour n > 0 sont nuls)
Si q = 1, Un+1 = Un, la suite est constante donc tous les termes sont égaux au premier.

Pour montrer qu'une suite définie de façon explicite est une suite géométique il suffit de montre que le rapport Un+1 sur Un est un réel.
On peut également modifier l'expression de Un+1 pour y faire apparaître Un et mettre la raison q en évidence.
Dans certains cas, on peut calculer les trois premiers termes (ou trois termes consécutifs non nuls) ;
Si  U1
U0		  ≠  U2
U1		  ou  Un+1
Un		  ≠  Un+2
Un+1		  alors la suite n'est pas géométique. 

Exemple : Les suites suivantes définies pour tout n ∈ ℕ sont-elles géométiques ?
Si oui, donner leur raison.Un = 3n+1 ; Vn = n2 + 1; Wn = 5×2n.

  • Un+1 = 3n+2 = 3×3n+1 = 3×Un ; La suite U est géométique de raison q = 3.
  • On a V0 = 02 + 1 = 1 ; V1 = 12 + 1 = 2 et V2 = 22 + 1 = 5.
    V1
    V0    		  =2 ≠  V2
    V1    		  =  5
    2    		  donc la suite n'est pas géométique. 
  		• Wn+1
    Wn    		  =  5×2n+1
    5×2n    		  =  5×2n×2
    5×2n    		  = 2   donc la suite est géométique et sa raison est q = 2.

    Remarque : Si l'on observe les expressions des suites géométiques précédentes on constate qu'elles peuvent se mettre sous la forme Un = qn×U0.

    		•  

    Expression explicite d'un suite géométique

    On écrit que les rapports des termes Ui sur Ui-1 pour i = 1 à i = n sont égaux à la raison q et on fait le produit membre à membre des n égalités obtenues. On constate que les termes U1, U2 jusqu'à Un-1 s'éliminent. Il ne reste plus que dans le premier membre le rapport Un sur U0 et dans le second le produit de n facteurs tous égaux à q.
    L'écriture explicite des suites géométiques est de la forme :  Un = qn×U0 .

    		U1
    U0    		 = q  n égalités
    U2
    U1    		 = q 
    ...
    Un-1
    Un-2    		 = q 
     Un 
    Un-1    		 = q 
    Un
    U0    		  = q × q × q × ... × q × q
     
    n facteurs

    Si n et p sont deux entiers on peut écrire : Un = qn×U0 et Up = qp×U0.
    On peut donc écrire  Un
    Up    		  =  qn×U0
    qp×U0    		  =  qn
    qp    		  D'où l'expression  Un = qn-p×Up .