Somme des premiers termes d'une suite arithmétique
| On pose Sn = |
n
∑
i = 0 |
i = 0 + 1 + 2 + ... + (n-1) + n = 1 + 2 + ... + (n-1) + n |
| |
n termes
 |
|
| On peut écrire : Sn = |
1 | + | 2 | + ... + | (n-1) | + | n |
on fait la somme membre à membre
des deux expressions |
| ou Sn = |
n | + | (n-1) | + ... + | 2 | + | 1 |
| On obtient : 2×Sn = |
(n+1) | + | (n+1) | + ... + | (n+1) | + | (n+1) |
= n×(n +1) |
| Par conséquent : |
Sn = |
n(n+1)
2 |
On écrit tous les termes Ui de i = 0 à i = n en fonction de U0 et on fait la somme membre à membre |
U0
U1
U2
U3
Un-1
Un
|
=
=
=
=
...
=
=
|
U0
U0 + r
U0 + 2r
U0 + 3r
U0 + (n-1)r
U0 + nr
|
 |
n+1 égalités |
| U0 + U1 + ... + Un-1 + Un |
= |
(n + 1)×U0 + r×(1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n) |
On a donc
n
∑
i = 0 |
Ui = |
(n + 1)×U0 + r×Sn |
= |
(n + 1)×U0 + r× |
n(n + 1)
2 |
|
= |
(n + 1)
2 |
×(2U0 + nr) |
= |
(n + 1)
2 |
×(U0 + U0 + nr) |
= |
(n + 1)
2 |
×(U0 + Un) |
| D'où l'expression |
n
∑
i = 0 |
Ui = U0 + U1 + ... + Un-1 + Un = |
(n + 1)× |
(U0 + Un)
2 |
(n+1) est le nombre de termes, U0 le premier terme et Un le dernier terme de la somme.
Exemple : On considère la suite arithmétique U de raison 3 et de premier terme 2.
Calculer la somme des dix premiers termes. Calculer U3 + U4 + ... + U7.
La suite est arithmétique, on a U0 = 2 et Un+1 = Un + 3 = U0 + 3×n. U9 = 2 + 3×9 = 29.
| La somme des dix premiers termes est : U0 + U1 + ... + U9 = 10× |
(2 + 29)
2 |
= 5×31 = 155 |
De U3 à U7 il y a 7 - 3 + 1 =5 termes. U3 = 2 + 3×3 = 11 et U7 = 2 + 3×7 = 23.
| Par conséquent U3 + U4 + ... + U7 = 5× |
(11 + 23)
2 |
= 5× |
34
2 |
= 5×17 = 85 |
|
|
Somme des premiers termes d'une suite géométique
| On pose Sn = |
n
∑
i = 0 |
qi |
|
Sn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
q×Sn = q + q2 + q3 + ... + qn + qn+1
Sn - q×Sn = 1 - qn+1
|
| Donc Sn = |
1 - qn+1
1 - q |
q ≠ 1 sinon la suite est constante... |
On écrit tous les termes Ui de i = 0 à i = n en fonction de U0 et on fait la somme membre à membre |
U0 = U0
U1 = qU0
U2 = q2U0
...
Un-1 = qn-1U0
Un = qnU0
|
|
n+1 égalités |
| U0 + U1 + ... + Un-1 + Un |
= |
U0×(1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn) |
On a donc
n
∑
i = 0 |
Ui = |
U0×Sn |
= U0 |
1 - qn+1
1 - q |
= |
U0 - qn+1×U0
1 - q |
= |
U0 - q×Un
1 - q |
| D'où l'expression |
n
∑
i = 0 |
Ui = U0 + U1 + ... + Un-1 + Un = |
U0 - q×Un
1 - q |
| On peut également retenir l'expression |
n
∑
i = 0 |
Ui = U0× |
1 - qn+1
1 - q |
q est la raison de la suite considérée, (n+1) le nombre de termes,
U0 est le premier terme et Un le dernier terme de la somme.
Exemple : On considère la suite géométique U de raison 2 et de premier terme 3.
Calculer la somme des dix premiers termes. Calculer U3 + U4 + ... + U7.
La suite est géométique, on a U0 = 3 et Un+1 = 2×Un = U0×2n. U9 = 3×29 = 1536.
| La somme des dix premiers termes est : U0 + U1 + ... + U9 = |
3 - 2×1536
1 - 2 |
= 3072 - 3 = 3069 |
Le premier terme de la somme à calculer est U3= 3×23= 24 et le dernier est U7= 3×27= 384.
| Par conséquent U3 + U4 + ... + U7 = |
(24 - 2×384)
1 - 2 |
= 768 - 24 = 744. |
En utilisant la seconde expression. Sachant qu'il y a 7 - 3 + 1 = 5 termes dans la somme.
et que le premier terme est U3= 24, on a :
| U3 + U4 + ... + U7 = 24× |
(1 - 25)
1 - 2 |
= 24×(32 - 1) = 24×31 = 744. |
|