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Condition de colinéarité de deux vecteurs

Rappels

Dans le plan rapporté à un repère (O,→i,→j)

  • Les coordonnées d'un point M est le couple de réels (x ; y) tel que OM→= x.i→+ y.j→.
    Réciproquement, si OM→= x.i→+ y.j→ alors les coordonnées de point sont M(x ; y).

    Si les coordonnées des points A et B sont A(xA ; yA) et B(xB ; yB)
    alors le vecteur →AB(xB - xA ; yB - yA )
    On note également les coordonnées d'un vecteur→AB( xB - xA
    yB - yA    		 )

    Les coordonnées du point I milieu du segment [AB] sont I( xA + xB
    2    		  ;  yA + yB
    2    		 )

    Dans un repère orthonormé la distance entre les points A et B est :
    AB = √ (xB - xA)2 + (yB - yA)2

  • Si u→= x.i→+ y.j→ alors les coordonnées du vecteur sont→u(x ; y) et réciproquement.

    Soient deux vecteurs→u( x
    y    		 ) et→v( x'
    y'    		 ) et λ un réel.
    On a alors →u +→v( x + x'
    y + y'    		 ) et λ.u→( λ.x
    λ.y    		 )

    →u( x
    y    		 ) =→v( x'
    y'    		 ) ⇔ { x = x'
    y = y'

    Dans un repère orthonormé la norme d'un vecteur notée→∥u∥ = √ x2 + y2

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  • "Pour aller d'un point A à un point B on peut passer par n'importe quel point C".
    On traduit ceci par l'égalité vectorielle :→AC +→CB =→AB. C'est la relation de Chasles.

    Les vecteurs→BA et→AB sont opposés ;→BA + AB→=→BB = 0→(vecteur nul) ou →BA = - AB→.

    Vecteurs colinéaires

    Deux vecteurs→u et→v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v→= k×u→.
    Si on considère→u( x
    y    		 ) et→v( x'
    y'    		 ) alors  v→= k×u→ ⇔ { x' = kx
    y' = ky
    En éliminant k on arrive à l'expression xy' = yx' soit encore xy' - yx' = 0
    Les vecteurs→u( x
    y    		 ) et→v( x'
    y'    		 ) sont colinéaires si et seulement si  xy' - yx' = 0 

    Propriétés

    Si les vecteurs→AB et CD→sont colinéaires alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

    Si les vecteurs→AB et AC→sont colinéaires alors les points A, B et C sont alignés.

    Si→AB = CD→alors le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme.
    et si le quadrilatère ABCD est un parallèlogramme alors→AB =→DC.
    Attention à l'ordre des points !
    On garde les deux premiers dans l'ordre écrit et on inverse les deux suivants.

    Si→AB = k×CD→avec k ≠ 1 alors le quadrilatère ABDC est un trapèze.

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