Retour | Index | Suite

Vecteur directeur d'une droite.

Equation réduite d'une droite

Dans le plan muni d'un repère (O,→i,→j), l'équation réduite d'une  droite (non parallèle à l'axe des ordonnées)  est de la forme  y = ax + b .
a est le coefficient directeur de la droite. Il caractérise l'inclinaison (la pente) de la droite. Plus a est grand en valeur absolue plus la pente est forte.
. a > 0 correspond à une fonction affine croissante inclinée dans ce sens ↗
. a < 0 correspond à une fonction affine décroissante inclinée dans ce sens ↘
b est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (pour x = 0, y = b)

Une  droite parallèle à l'axe des abscisses  a une équation réduite de la forme  y = b  (tous les points de la droite ont la même ordonnée et a = 0)

Une  droite parallèle à l'axe des ordonnées  a une équation réduite de la forme  x = c  (tous le points de la droite ont la même abscisse c)

Vecteur directeur

Soient deux points A et B non confondus. Tout vecteur→u colinéaire au vecteur→AB est un vecteur directeur de la droite (AB).

  • Cas d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
    On a xB = xA car la droite est parallèle à l'axe des ordonnées et yB ≠ yA car les points ne sont pas confondus. On a alors :
    →AB(0 ; yB - yA) avec yB - yA ≠ 0 et    1  
    yB-yA    		 ×AB→(0 ; 1)
     Un vecteur directeur d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées est→j .
    		•  

  • Cas d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.
    On a xB ≠ xA car les points ne sont pas confondus et yB = yA car la droite est parallèle à l'axe des abscisse. On a alors :
    →AB(xB - xA ; 0) avec xB - xA ≠ 0 et    1  
    xB-xA    		 ×AB→(1 ; 0)
     Un vecteur directeur d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées est→i .

  • Cas d'une droite non parallèle aux axes du repère.
    On a xB ≠ xA car les points ne sont pas confondus ; yA = axA + b et yB = axB + b car l'équation réduite de la droite est de la forme y = ax + b. On a alors :
    →AB(xB - xA ; yB - yA) c'est à dire→AB(xB - xA ; axB + b - axA - b) 
    soit→AB(xB - xA ; a(xB - xA) avec xB - xA ≠ 0 et donc     1  
    xB-xA    		 ×AB→(1 ; a)
     Un vecteur directeur d'une droite non parallèle aux axes du repère est→u(1 ; a) .
    (a étant le coefficient directeur de la droite).

    Exemple : Donner l'équation réduite de la droite de vecteur directeur→u(2 ; 3) passant par le point A(1 ; 2).
    Si→u(2 ; 3) est un vecteur directeur alors tout vecteur k×u→avec k ≠ 0 l'est également.
    En particulier   1
    2    		 →u(1 ;  3
    2    		 ) et le coefficient directeur est a =   3
    2
    La droite passe par le point A donc yA =  3
    2    		  xA + b soit 2 =  3
    2    		 ×1 + b d'où b = 2 -  3
    2    		  =  1
    2
    L'équation réduite de la droite est y =  3
    2    		  x +   1
    2