Remarque : Si l'angle géométrique entre les vecteurs est de 90° (angle orienté ±π/2), le cosinus est nul.
Par conséquent, la condition pour que deux vecteurs soient orthogonaux est :→u.v→= 0.
Si les vecteurs→AB et→AH sont dans le même sens alors : →AB.AC→= AB × AH |
![]() |
Si les vecteurs→AB et→AH sont de sens opposés alors : →AB.AC→= - AB × AH |
x y |
) et→v( | x' y' |
) alors |
→u.v→=→v.u→ | Le produit scalaire est symétrique |
→u.( kv→) = k ×→u.v→ | Le produit scalaire est linéaire |
→u.(v→+→w) = →u.v→+→u.w→ | |
( ku→). v→ = = k ×→u.v→ | On dit également bilinéaire car |
(u→+→v). w→= →u.w→+→v.w→ | "linéaire à droite" et "linéaire à gauche" |
→u.v→= | 1 2 |
(∥u→+→v∥2 -→∥u∥2 -→∥v∥2) | et →u.v→= | 1 2 |
(→∥u∥2 +→∥v∥2 - ∥u→-→v∥2) |
→AB.AC→= | 1 2 |
(AB2 + AC2 - CB2) | = | 1 2 |
(AB2 + AC2 - BC2) (u→-→v = AB→-→AC = AB→+→CA =→CB) |
→AB.CA→= | 1 2 |
(CB2 - AB2 - CA2) | = | 1 2 |
(BC2 - AB2 - AC2) (u→+→v = AB→+→CA =→CB) |
2→u.v→= | 1 2 |
(∥u→+→v∥2 - ∥u→-→v∥2) | Soit →u.v→= | 1 4 |
(∥u→+→v∥2 - ∥u→-→v∥2) |
→AB.BC→= | 1 4 |
(AC2 - BD2) | et | AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2 (= AB2 + BC2 + CD2 + AD2) |
→AB.AD→= | 1 2 |
(AB2 + AD2 - DB2) | = | 1 2 |
(AC2 - AB2 - AD2) (car AD→=→BC) |
![]() | ![]() | ||||
→AB.AD→= | 1 2 |
(AB2 + AD2 - DB2) | →AB.AD→= | 1 2 |
(AC2 - AB2 - AD2) |
= | 1 2 |
(72 + 52 - 102) = -13 | = | 1 2 |
(102 - 112 - 42) = -18,5 |