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Produit scalaire dans le plan

Définition

  • Si on considère deux vecteurs non nulsu etv, le produit scalaire deu parv est le nombre réel notéu.v(on ditu scalaire v) défini par
    u.v=∥u∥ × ∥v∥× cos(u;v) où∥u∥ et ∥v∥sont les normes des vecteursu etv c'est-à-dire leur longueurs.
    Dans le cas oùv =u, on au.u=∥u∥2.
    On note ce nombreu2 et on l'appelle carré scalaire deu.

    Remarque : Si l'angle géométrique entre les vecteurs est de 90° (angle orienté ±π/2), le cosinus est nul.
    Par conséquent, la condition pour que deux vecteurs soient orthogonaux est :u.v= 0.

    Autres définitions

  • Si on considère trois points distincts A, B et C tels queAB =u etAC =v on aura :
    AB.AC= AB × AC × cos(AB;AC) soit encore AB.AC= AB × AC × cos(BAC)^

  • Si le point H désigne le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), on obtient l'expression :
    AB.AC=-AB × AH--AB et AH-sont les mesures algébriques.
    Si les vecteursAB etAH sont dans le même sens alors :

    AB.AC= AB × AH
    Si les vecteursAB etAH sont de sens opposés alors :

    AB.AC= - AB × AH
  • Dans un repère orthonormal (orthonormé), si on considèreu(
  • x
    y
    ) etv( x'
    y'
    ) alors 
    le produit scalaire s'écrit :u.v= x × x' + y × y'

    Propriétés

    Soientu,v etw trois vecteurs non nuls. Soient k un réel non nul.
    u.v=v.u Le produit scalaire est symétrique
    u.( kv) = k ×u.v Le produit scalaire est linéaire
    u.(v+w) = u.v+u.w  
    ( ku). v = = k ×u.v On dit également bilinéaire car
    (u+v). w= u.w+v.w "linéaire à droite" et "linéaire à gauche"

  • Autres expressions

  • Si on considère deux vecteurs non nulsu etv alors on peut écrire les égalités remarquables suivantes :
    (u+v)2 = u2 + 2u.v+v2
    (u-v)2 = u2 - 2u.v+v2
    (u+v).(u-v) = u2 -v2

  • Ainsi on en déduit les expressions du produit scalaire :
  • u.v 1
    2
    (∥u+v∥2 -∥u∥2 -∥v∥2)   et u.v 1
    2
    (∥u∥2 +∥v∥2 - ∥u-v∥2)
    Si on considère trois points distincts A, B et C tel queAB =u etAC =v
    alors la seconde expression devient :
    AB.AC 1
    2
    (AB2 + AC2 - CB2 1
    2
    (AB2 + AC2 - BC2(u-v = AB-AC = AB+CA =CB)
    Si on aAB =u etCA = v, alors la première expression devient :
    AB.CA 1
    2
    (CB2 - AB2 - CA2 1
    2
    (BC2 - AB2 - AC2(u+v = AB+CA =CB)

  • En ajoutant membre à membre les deux expressions deu.von obtient :
  • 2u.v 1
    2
    (∥u+v∥2 - ∥u-v∥2)   Soit u.v 1
    4
    (∥u+v∥2 - ∥u-v∥2)
  • En retranchant membre à membre les deux expressions on arrive à :
  • ∥u+v∥2 + ∥u-v∥2 = 2∥u∥2 + 2∥v∥2
  • Dans un parallèlogramme ABCD on peut ainsi montrer que :
    AB.BC 1
    4
    (AC2 - BD2)    et    AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2 (= AB2 + BC2 + CD2 + AD2)
    AB.AD 1
    2
    (AB2 + AD2 - DB2 1
    2
    (AC2 - AB2 - AD2(car AD=BC)
    AB.AD 1
    2
     (AB2 + AD2 - DB2 AB.AD 1
    2
     (AC2 - AB2 - AD2)
    1
    2
     (72 + 52 - 102) = -13  1
    2
     (102 - 112 - 42) = -18,5