Un vecteur directeur d'une droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0 est
| →u( | -b a |
) un vecteur normal à cette droite sera→n( | a b |
). |
| Autrement dit si →u( | a b |
) est un vecteur directeur d'une droite D |
| alors →n( | -b a |
) ou →n( | b -a |
) est un vecteur normal à cette droite. |
Deux méthodes sont possibles pour déterminer une équation cartésienne d'une droite :
* Utilisation de vecteurs colinéaires.
Dans ce cas on doit disposer, soit de deux points distincts A et B, soit d'un vecteur directeur→u et d'un point C.
Dans un repère orthonormé les coordonnées d'un point M quelconque sont M(x ; y).
On écrira alors que les vecteurs→AB et→AM ou →u et→CM sont colinéaires en utlisisant le déterminant.
C'est-à-dire det(AB→;→AM) = 0 ou det(u→;→CM) = 0
* Utilisation de vecteurs orthogonaux.
Dans ce cas on devra disposer d'un point D et d'un vecteur normal→n à la droite. (Eventuellement d'un vecteur directeur).
On écrira ici que les vecteurs→n et→DM sont orthogonaux en utlisisant le produit scalaire.
C'est à dire→n.DM→= 0
Exemple : Soient les points A(5;4), B(-3;2) et C(4;-2).
Déterminer une équation cartésienne : de la droite (AB) ; de la droite Δ médiatrice du segment [AB] et de la droite Δ' perpendiculaire à (AB) passant par C.
Soit I le milieu de [AB] et soit M(x;y) un point du plan.
| On a→AB( | -8 -2 |
) et→AM( | x - 5 y - 4 |
) ; I(1;3) et →IM( | x - 1 y - 3 |
) ; →CM( | x - 4 y + 2 |
). |
| M ∈ (AB) | ⇔ | les vecteurs→AB et→AM sont colinéaires. | ||
| ⇔ | -8 × (y - 4) - (-2) × (x - 5) = 0 | ⇔ | -8y + 32 + 2x - 10 = 0 | |
| ⇔ | 2x - 8y + 22 = 0 (on peut diviser par 2) | |||
| M ∈ Δ | ⇔ | →AB.IM→ = 0 | ||
| ⇔ | -8 × (x - 1) - 2 × (y - 3) = 0 | ⇔ | -8x + 8 - 2y + 6 = 0 | |
| ⇔ | -8x - 2y + 14 = 0 (on peut diviser par -2) | |||
| M ∈ Δ' | ⇔ | →AB.CM→ = 0 | ||
| ⇔ | -8 × (x - 4) - 2 × (y + 2) = 0 | ⇔ | -8x + 32 - 2y - 4 = 0 | |
| ⇔ | -8x - 2y + 28 = 0 (on peut diviser par -2) | |||