Mise en forme

Soit un polynôme du second degré p(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0
(si a = 0, le polynôme n'est pas du 2sd degré)

On commence par mettre a en facteur

p(x) = a(x2 +

b a

x) + c

On considère les termes entre parenthèses comme le début du développement de (A + B)²
(A + B)² = A² + 2AB + B² donc A² + 2AB = (A + B)² - B²
On peut faire apparaître le double produit dans le second terme en multipliant et divisant par 2.

On a alors A = x et B =

b 2a

p(x) = a(x2 + 2

b 2a

x) + c

p(x) = a[(x +

b 2a

)2 - (

b 2a

)2] + c

On suprime les crochets et on regroupe les termes indépendants de x

p(x) = a(x +

b 2a

)2 - a

b2 4a2

+ c

p(x) = a(x +

b 2a

)2 -

b2 4a

+ c

p(x) = a(x +

b 2a

)2 -

b2 - 4ac 4a

Le polynôme est alors sous la forme canonique a(x - α)² + β

avec α = -

b 2a

; β = -

Δ 4a

= p(α) et Δ = b2 - 4ac

Applications

La courbe représentative d'un polynôme du second degré est une parabole.
La forme canonique fait apparaître les coordonnées du sommet S(α ; β) de cette parabole.

Si a > 0 alors S est un minimum.
La parobole est décroissante sur l'intervalle ]-∞ ; α] et croissante sur l'intervalle [α ; +∞[.

Si a < 0, S est un maximum.
La parabole est croissante sur l'intervalle ]-∞ ; α] et décroissante sur l'intervalle [α ; +∞[.

a > 0    │	-∞      α      +∞		a < 0    │	-∞      α      +∞
variation    │ de p(x)    │	↘       ↗ β		variation    │ de p(x)    │	β ↗       ↘

Soit p(x) = a(x - α)² + β et soient u et v deux réels tels que u < v ou u - v < 0.
p(u) - p(v) = a(u - α)² + β - a(v - α)² - β = a[(u - α)² - (v - α)²]
= a(u - α + v - α)(u - α - v + α) = a(u + v - 2α)(u - v)

Si u et v appartiennent à ]-∞ ; α] on a u < α et v < α d'où u + v < 2α
On a donc u + v - 2α < 0 et u - v < 0 par conséquent (u + v - 2α)(u - v) > 0
Si a > 0 alors p(u) - p(v) > 0 alors la fonction est décroissante sur ]-∞ ; α]
Si a < 0 alors p(u) - p(v) < 0 alors la fonction est croissante sur ]-∞ ; α]

Si u et v appartiennent à [α ; +∞[ on a u > α et v > α d'où u + v > 2α
On a donc u + v - 2α > 0 et u - v < 0 par conséquent (u + v - 2α)(u - v) < 0
Si a > 0 alors p(u) - p(v) < 0 alors la fonction est croissante sur [α ; +∞[
Si a < 0 alors p(u) - p(v) > 0 alors la fonction est décroissante sur [α ; +∞[