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Les suites numériques

Première approche des suites

Les suites associent des nombre entiers à des nombres réels ce sont donc des fonctions définies de N sur R.
On désigne ces fonctions par la lettre U ou (Un) ou parfois (Un)n≥2 lorsque les deux premiers termes ne sont pas définis.
L'image d'un nombre entier n est généralement notée "U indice n" Un.
Ainsi U0 ou U1 voire U2 représente le premier terme et Un le terme général.

Les listes suivantes constituent des suites :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; ...
On part de 1. Le terme suivant est obtenu en multipliant par 2 et ainsi de suite.
On peut remarquer que les termes sont les puissances successives de 2 : 1 =20 ; 2 = 21 ...

0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 68 ; 81 ; ...
Les termes sont les carrés successifs de 0 ; 1 ; 2 ; 3...

1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 ; 25 ; ...
On part de 1. Le terme suivant est obtenu en ajoutant 3 et ainsi de suite.

0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; ...
On part des deux nombres 0 et 1. Le terme suivant est la somme des deux précédents.

Modes de génération d'une suite numérique

En observant les exemples précédents on constate que se dessine deux modes de génération d'une suite.

  • Les différents termes sont donnés par une expression en fonction de n comme 2n ou n2.
    On dit que la suite U est définie de manière explicite ; Un = f(n).

  • On exprime un terme en fonction du ou des termes précédents. Un+1 = Un + 3 ;
    Un+1 = Un + Un-1. Ceci sous-entend que le ou les premiers termes sont donnés.
    On dit que la suite U est définie par une relation de récurrence ; Un+1 = f(Un).

    Exemple : Calculer les 4 premiers termes des suites U et V définies pour tout n ≥ 0.
    Un = 3n - 1 et   V0 = - 1
       Vn+1 = 3Vn - 1
    U0 = 3×0 - 1 = -1
    U1 = 3×1 - 1 = 2
    U2 = 3×2 - 1 = 5
    U3 = 3×3 - 1 = 8     		V0 = -1 (valeur donnée)
    V1 = 3V0 - 1 = 3×(-1) - 1 = -4
    V2 = 3V1 - 1 = 3×(-4) - 1 = -13
    V3 = 3V2 - 1 = 3×(-13) - 1 = -38

    Autres modes de génération

    Mode mixte : Un+1 = Un + 2n avec U0 = 1.

    Deux suites dépendant l'une de l'autre :
     Un+1 = 3Un + 2Vn et  U0 = 1
     Vn+1 = 2Un + 3Vn  V0 = 2