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Sens de variation d'une suite

Définition

  • Une suite U est strictement croissante si et seulement si, pour tout n, Un+1 > Un
  • Une suite U est strictement décroissante si et seulement si, pour tout n, Un+1 < Un
  • Une suite U est constante si et seulement si, pour tout n, Un+1 = Un

    Etude du sens de variation d'une suite

    En règle générale, on étudie le signe de la différence Un+1 - Un

    Si tous les termes de la suite sont positifs on peut comparer le rapport Un+1/Un à 1.

    Si la suite U est définie de manière explicite Un = f(n). On peut étudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +&infin[.

    Exemple 1 : Etudier le sens de variation d'une suite arithmétique de raison r ≠ 0.
    Le terme général d'une suite arithmétique est Un+1 = Un + r. On a donc Un+1 - Un = r.
    . Si r > 0, Un+1 - Un > 0 donc Un+1 > Un. Alors La suite U est croissante.
    . Si r < 0, Un+1 - Un < 0 donc Un+1 < Un. Alors La suite U est décroissante.

    Exemple 2 : Etudier le sens de variation d'une suite géométique de raison q > 0 et de premier terme V0 > 0.
    Le terme général d'une suite géométique est Vn+1 = q×Vn. Etant donné que V0 > 0 et q > 0 tous les termes de la suite sont strictement positifs. On peut donc écrire Vn+1/Vn = q.
    . Si q > 1, Vn+1/Vn > 1 donc Vn+1 > Vn. La suite V est alors croissante.
    . Si 0 < q < 1, Vn+1/Vn < 1 donc Vn+1 < Vn. La suite V est alors décroissante.

    Exemple 3 : Etudier le sens de variation de la suite définie pour tout n ≥ 0 par Wn = √n.
    Soit f la fonction racine carrée ; f(x) = √x. On sait que cette fonction est croissante sur [0 ; +∞[. Or pour tout entier n ; n + 1 > n donc √n + 1 > √n. La suite W est donc croissante.

    • Exercice : Soit la fonction f définie sur ℝ par : f(x) =    4x  
    x2 + 4
    On définit la suite U par Un = f(n) pour tout n ≥ 0.

    1. Calculer Un pour n = 0 à 5.
    On a Un=    4n  
    n2 + 4    		  d'où U0 = 0 ; U1 = 4/5 ; U2 = 1 ; U3 = 12/13 ; U4 = 4/5 ; U5 = 20/29.

    2. Calculer la dérivée f'(x) et étudier son signe sur [0 ; +∞[.
    On pose u(x) = 4x et v(x) = x2 + 4. On a alors u'(x) = 4 et v'(x) = 2x.
    f =  u
    v    		  ainsi, f' =  u'v - uv'
    v2
    f'(x) =  4×(x2 + 4) - 4x×2x
    (x2 + 4)2    		  =  4(x2 + 4 - 2x2)
    (x2 + 4)2    		  =  4(4 - x2)
    (x2 + 4)2    		  =  4(2 + x)(2 - x)
    (x2 + 4)2
    Le dénominateur est toujours positif. Le numérateur s'annule pour x = 2 et x = -2. Il est positif entre ces valeurs (cf. signe d'un polynôme du second degré). D'où le tableau des signes suivant :
       0   2   +∞
     signe de f'(x)   1 + 0 -  

    3. Montrer que la suite U est décroissante à partir d'une certaine valeur de n.
    D'après le tableau des signes de f'(x) on peut dresser le tableau des variations de f(x).
       0   2   +∞
     variations 
     de f(x)     		  0 ↗ 1 ↘  
    Etant donné que Un = f(n), le sens de variation de la suite est le même que celui de la fonction f pour x > 0. On constate que f est décroissante sur [2 ; + ∞[. Le suite est donc décroissante à partir de n = 2.