Exemple 1 : Soit U la suite définie pour tout n ∈ ℕ par : Un+1 =

Un + 1 Un

et U0 =

1 2

1. Calculer les valeurs de U_n jusqu'à n = 15 puis tracer le graphe U_n en fonction de n.
Que constate-t-on ?
Les résultats issus d'un code avec AlgoBox sont les suivants :

***Algorithme lancé*** Entrer n : 15 U0 = 0.5 U1 = 3 U2 = 1.3333333 U3 = 1.75 U4 = 1.5714286 U5 = 1.6363636 U6 = 1.6111111 U7 = 1.6206897 U8 = 1.6170213 U9 = 1.6184211 U10 = 1.6178862 U11 = 1.6180905 U12 = 1.6180124 U13 = 1.6180422 U14 = 1.6180308 U15 = 1.6180352 ***Algorithme terminé***

On constate que les valeurs se stabilisent autour d'une valeur voisine de 1.61803

2. Tracer sur un même graphe la droite y = x et la courbe représentative de la fonction

f(x) =

x + 1 x

pour x ∈ ]0 ; +∞[.

Montrer que les termes de la suite converge vers le point d'intersection de la droite et de la courbe. En déduire la valeur exacte de la limite de la suite.

On a Un+1 = f(Un). Graphiquement, en utilisant la courbe de f(x) et la droite y = x pour reporter les valeurs successives de la suite, on constate que ces valeurs "tournent" autour du point d'intersection de la courbe et de la droite. Ce point est donc solution de l'équation f(x) = x, soit : x + 1 x  = x ⇔ x + 1 = x×x (car x ≠ 0). ⇔ x2 - x - 1 = 0. Le discriminant de cette équation est Δ = b2 - 4ac avec a = 1; b = -1; c = -1. Δ = (-1)2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5. Δ > 0 ; l'équation admet deux racines distinctes: x1 =  -b - √Δ 2a  =  1 - √5 2  ne convient pas car < 0  x2 =  -b + √Δ 2a  =  1 + √5 2  valeur exacte de la limite de U